中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形第1节图形的相似与位似精讲试题

5．(2017唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是( D )

①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．

A．4 B．2 C．1 D．3

6．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A )

A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5

(第6题图)

(第7题图)

7．(2016石家庄二十八中一模)如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝42，则△EFC的周长为( D )

A．11 B．10 C．9 D．8

8．(2016保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作( C )

A．2条 B．3条 C．4条 D．6条

9．(2016邯郸一模)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为( D )

A．4 B．2 C．5 D．3

10．(2016保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是( D ) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形

D．正五边形与正五边形

11．(2016石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.

(1)求证：AC＝AD＋CE；

(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点

DP

不重合，求的值．

PQ

解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，

∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°. ∴∠ADB＝∠EBC.

又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(ASA)， ∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE； (2)过点Q作QH⊥BC于点H.

则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE， ADAPBHQH∴＝，＝. HPHQBCEC

BHy

设AP＝x，QH＝y，则有＝，

35

3y3y

∴BH＝，PH＝＋5－x，

553x∴＝，即(x－5)·(3y－5x)＝0. 3yy＋5－x5

又点P不与A，B重合， ∴x≠5，即x－5≠0. ∴3y－5x＝0，即3y＝5x. DPx3∴＝＝. PQy5

12．(2016河北中考)如图①，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．

(1)AE和ED的数量关系为________； AE和ED的位置关系为________；

(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图②和图③.

①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：GH＝HD，GH⊥HD.

②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示)

解：(1)AE＝ED；AE⊥ED；

(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°， AB＝BE＝EC＝DC.

∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2，

11

∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝AB，EF＝EB，

22

∴∠GFE＝∠C. ∵H是EC的中点，

1

∴EH＝HC＝EC，

2

111

∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝EB＋EC＝BC＝EC＝CD，

222

∴△HGF≌△DHC.

∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC. ∵∠HDC＋∠DHC＝90°， ∴∠GHF＋∠DHC＝90°. ∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD； ②∵GH＝HD，GH⊥HD， ∴∠FHG＋∠DHC＝90°.

∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC. 在△FGH和△CHD中， ?∠FGH＝∠CHD，

?

?∠GFH＝∠HCD， ??GH＝HD，

∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH. ∵EF＝FG，∴EF＝CH.

∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2， ∴BE＝EC＝1，

∴EF＝k，∴CH的长为k.