高中数学必备公式定理大全

（5） 1+2+3+…+n=

等比数列：

通项公式：（1） an?a1qn?1n(n?1) 2a1n?q(n?N*) ，其中a1为首项，n为项数，q为公比。 q?n?k（2）推广：an?ak?q

（3）an?Sn?Sn?1(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）Sn?Sn?1?an(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）

（2）Sn?a1?a2??an （注：该公式对任意数列都适用）

?na1? （3）Sn??a1(1?qn)?1?q?(q?1)(q?1)

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 am?an?ap?aq ；

注：若am是an,ap的等比中项，则有 am?an?ap?n、m、p成等比。

（2）、若?an?、?bn?为等比数列，则?an?bn?为等比数列。

2ab(1?b)n18分期付款(按揭贷款) ：每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

(1?b)n?119三角不等式：

（1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.

?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

)，则1?sinx?cosx?2. sin?， cos?sin?sin?;

20 同角三角函数的基本关系式 ：sin??cos??1，tan?=

2221 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos?tan(???)?tan??tan?.

1tan?tan?asin??bcos?=a2?b2sin(???)

(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan??23 二倍角公式及降幂公式

b ). asin2??sin?cos??

2tan?.

1?tan2?5

1?tan2?. cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin??1?tan2?2tan?sin2?1?cos2?. tan2??tan???21?tan?1?cos2?sin2?1?cos2?1?cos2? sin2??,cos2??22222224 三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0)的周期

T?2???；函数y?tan(?x??)，x?k??,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0)的周期T?. |?||?|2三角函数的图像：

yy=sinx-π1y=cosxπ/2π3π/22πy1-π/2-2π-3π/2o-1x-2π-3π/2-π-π/2o-1π/2π3π/22πx25 正弦定理 ：

abc???2R（R为?ABC外接圆的半径）. sinAsinBsinC?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC?a:b:c?sinA:sinB:sinC

26余弦定理：

a2?b2?c2?2bccosA;b2?c2?a2?2cacosB;c2?a2?b2?2abcosC.

27面积定理：

111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.

2221(3)S?OAB?(|OA|?|OB|)2?(OA?OB)2. 2a?b－c斜边2S?r?内切圆?,r直角?内切圆?

a?b?c2（1）S?28三角形内角和定理 ：

在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C?A?B???2C?2??2(A?B). 22229实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么： (1) 结合律：λ(μa)=(λμ) a;

(2)第一分配律：(λ+μ) a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

30a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cos?。 31平面向量的坐标运算：

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 32 两向量的夹角公式：

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cos??a?b?|a|?|b|x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

33 平面两点间的距离公式：

dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

34 向量的平行与垂直 ：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则：

a||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0.（交叉相乘差为零）

a?b (a?0)? a·b=0?x1x2?y1y2?0.（对应相乘和为零）

P2(x2,y2)，35 线段的定比分公式 ：设P且PPP(x,y)是线段P1P2的分点,?是实数，1(x1,y1)，1??PP2，

?x1??x2x??OP??OP2?1??则? ?OP?1y??y1??2?y?1?1???1）. 1??36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC

x?x2?x3y1?y2?y3的重心的坐标是G(1,).

33?OP?tOP1?(1?t)OP2（t?37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC. （2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.

（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA. （4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0. （5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC. 38常用不等式：

（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

22222a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333（3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（2）a,b?R??（4）a?b?a?b?a?b.

2aba?ba2?b2（5）(当且仅当a＝b时取“=”号)。 ?ab??a?b2239极值定理:已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； （2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值（3）已知a,b,x,y?R，若ax?by?1则有

?12s. 41111byax??(ax?by)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)2。 xyxyxyab?（4）已知a,b,x,y?R，若??1则有

xy

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abaybxx?y?(x?y)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)2

xyxy22240 一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)，如果a与ax?bx?c同号，则

其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；

2x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

x?a?x2?a2??a?x?a.

x?a?x2?a2?x?a或x??a.

42 斜率公式 ：

k?y2?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2?x143 直线的五种方程：

（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).

y?y1x?x1?(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2,y1?y2)).

y2?y1x2?x1 两点式的推广：(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)?0（无任何限制条件！）

xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a?0、b?0)

ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

直线Ax?By?C?0的法向量：l??(A,B)，方向向量：l?(B,?A)

44 夹角公式：

k2?k1|. (l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)

1?k2k1AB?A2B1|.(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0). (2)tan??|12A1A2?B1B2(1)tan??|直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是

45 l1到l2的角公式：

?. 2k2?k1.(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)

1?k2k1AB?A2B1(2)tan??12.(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0).

A1A2?B1B2(1)tan??直线l1?l2时，直线l1到l2的角是

46 点到直线的距离 ：d?47 圆的四种方程：

（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.

22（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).

22222?. 2|Ax0?By0?C|A?B22(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).

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