高中数学4.1.2圆的一般方程习题新人教A版必修2

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一、选择题

1． 若直线3x＋y＋a＝0过圆x＋y＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( ) A．－1 C．3

2

2

2

2

B．1 D．－3

解析：选B ∵圆x＋y＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)， ∴3x＋y＋a过点(－1,2)， 即－3＋2＋a＝0， ∴a＝1.

2．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )

A．x＋y＝32 B．x＋y＝16 C．(x－1)＋y＝16 D．x＋(y－1)＝16

解析：选B 设M(x，y)，则M满足＝16.

3．方程x＋y＋2ax－b＝0表示的图形是( ) A．一个圆

B．只有当a＝0时，才能表示一个圆 C．一个点

D．a，b不全为0时，才能表示一个圆 解析：选D (2a)＋4b＝4(a＋b)， 当a＝b＝0时，方程表示一个点； 当ab≠0时方程表示一个圆．

4．如果圆x＋y＋ax＋by＋c＝0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么( ) A．a＝0，b≠0，c≠0 C．a＝c＝0，b≠0

B．b＝c＝0，a≠0 D．a＝b＝0，c≠0

2

22

2

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2

2

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2

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2

2

x－8

2

＋y＝2

2

x－2

2

＋y，整理得x＋y222

解析：选B 符合条件的圆方程为(x＋)＋y＝，

24即x＋y＋ax＝0. ∴b＝0，a≠0，c＝0.

5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )

A．π

B．4π

2

2

a22

a2

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C．8π

D．9π

解析：选B 设动点轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|， 知

x＋2

2

＋y＝2

2

x－1

2

＋y，化简得(x－2)＋y＝4，得轨迹曲线为以(2,0)

222

为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.

二、填空题

6．若x＋y＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是____________________．

解析：∵(λ－1)＋(2λ)－4λ＞0， 即5λ－6λ＋1＞0，

1??∴λ∈?－∞，?∪(1，＋∞)． 5??1??答案：?－∞，?∪(1，＋∞) 5??

7．已知圆C：x＋y＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.

解析：由题意可得圆C的圆心?－1，－?在直线x－y＋2＝0上，将?－1，－?代入直

2?2???线方程得－1－?－?＋2＝0，解得a＝－2.

?2?

答案：－2

8．已知A，B是圆O：x＋y＝16上的两点，且│AB│＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是____________________．

解析：设圆心为M(x，y)，由│AB│＝6知，圆M的半径r＝3，则│MC│＝3，即

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?

a?

?

a?

?a?

x－1

2

＋y＋1

2

2

＝3，所以(x－1)＋(y＋1)＝9.

2

22

答案：(x－1)＋(y＋1)＝9 三、解答题

9．已知圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．

解：圆心C?－，－?，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－

2?22?22.①

又∵半径长r＝∴D＋E＝20.②

2

2

2

2

?DE?DED2＋E2－12

2

＝2，

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??D＝2，

由①②可得?

?E＝－4?

??D＝－4，

或?

?E＝2.?

又∵圆心在第二象限，∴－＜0即D＞0. 2

??D＝2，则?

?E＝－4.?

D

2

2

故圆的一般方程为x＋y＋2x－4y＋3＝0.

10．已知方程x＋y－2(t＋3)x＋2(1－4t)y＋16t＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求t的取值范围；

(2)求其中面积最大的圆的方程；

(3)若点P(3,4t)恒在所给圆内，求t的取值范围． 解：(1)已知方程可化为

(x－t－3)＋(y＋1－4t)＝－7t＋6t＋1， 122

∴r＝－7t＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1.

7

2

22

2

22

2

2

4

?1?即t的取值范围是?－，1? ?7?

(2)r＝ －7t＋6t＋1 ＝ 2

?3?216－7?t－?＋. ?7?7

3?1?4

当t＝∈?－，1?时，rmax＝7，

7?7?7

?24?2?13?216此时圆的面积最大，对应的圆的方程是?x－?＋?y＋?＝.

7??49?7?

(3)当且仅当3＋(4t)－2(t＋3)×3＋2(1－4t)·4t＋16t＋9＜0时，点P恒在圆内，化简得8t－6t＜0，

3?3?即0＜t＜.故t的取值范围是?0，?

4?4?

2

2

22

2

2

4