2016届北京市怀柔区高考数学查漏补缺试卷（解析版）

l2的斜率都存在，y=k（II）由题意可知：直线l1，设直线l1：（x﹣1），直线l2：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立

，

，化为（x﹣1）[（2+k2）x﹣（k2﹣2）]=0，

解得x1=，y1=

，

把k换成﹣，可得x2=

，，

∴kMN=

=，

直线MN的方程为：，化为，

∴直线MN过定点当k=±1时，M

综上可得：直线MN必过定点

21．已知椭圆C：

+

． ，N

．

，此时直线MN也过定点

．

=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点

构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．

①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当

最小时，求点T的坐标．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；

第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将示出来，由

取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．

表

【解答】解：（1）依题意有解得

第25页（共28页）

所以椭圆C的标准方程为+=1．

（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0）， ①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率

．

由

?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，

所以，

于是，从而，

即，则直线ON的斜率，

又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．

从而

，即kOT=kON，

所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证． ②由两点间距离公式得由弦长公式得

， =

=，

所以，

令号），

，则

（当且仅当x2=2时，取“=”

第26页（共28页）

所以当3，﹣1）．

1）最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，或（﹣

第27页（共28页）

2016年6月17日

第28页（共28页）