2016届北京市怀柔区高考数学查漏补缺试卷（解析版）

∴x0xD+（﹣

）?（﹣

）=0，即x0xD+8=0，得xD=﹣

，0）

∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（

因此，直线QG的斜率为kQG=

=

又∵点Q（x0，y0）在椭圆C上，可得∴kQG=

=﹣

由此可得直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），

代入椭圆C方程，化简得（将

）x2﹣16x0x+64﹣16

=0，

，

=0

代入上式，得8x2﹣16x0x+8

=0，所以△=

化简得x2﹣2x0x+

从而可得x=x0，y=y0是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．

综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．

18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于

，它的一个顶点恰好在抛物

线x2=8y的准线上．

（1）求椭圆C的标准方程； （2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

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【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）设椭圆C的标准方程为

（a＞b＞0），由椭圆的一个顶点恰好在抛物

，a2=b2+c2，联立解得即可．

线x2=8y的准线y=﹣2上，可得﹣b=﹣2，解得b．又

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可

=k（x﹣2）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：，与椭圆的方程联立化为

系数的关系、斜率计算公式即可得出． 【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为

（a＞b＞0）， +4

﹣16=0，利用根与

∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，

∴﹣b=﹣2，解得b=2． 又∴a=4，

，a2=b2+c2，

，

．

可得椭圆C的标准方程为

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数， 可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，

=k（x﹣2）直线PA的方程为：， 联立

，

化为+4﹣16=0，

∴x1+2=

，

同理可得：x2+2=

=，

∴x1+x2=

，x1﹣x2=

，

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kAB=

==．

∴直线AB的斜率为定值．

19．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率． 【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．

（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．

【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0， 则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0， 则x1+x2=

，则xM=

=

=

，yM=kxM+b=

，

于是直线OM的斜率kOM=

，

即kOM?k=﹣9，

∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． （2）四边形OAPB能为平行四边形． ∵直线l过点（，m），

∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0， 即k2m2＞9b2﹣9m2， ∵b=m﹣m，

∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，

即k2＞k2﹣6k， 则k＞0，

∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3， 由（1）知OM的方程为y=设P的横坐标为xP， 由

得

，即xP=

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x，

，

将点（，m）的坐标代入l的方程得b=即l的方程为y=kx+将y=得kx+

x，代入y=kx+

=

x

，

，

，

解得xM=

，

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM， 于是

=2×

，

解得k1=4﹣或k2=4+， ∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，

∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．

20．已知椭圆C：

+

（a＞b＞0）的离心率为

，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴

为半径的圆与直线x﹣y+=0相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右顶点B作两条互相垂直的直线l1，l2，且分别交椭圆C于M，N两点，探究直线MN是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（I）由与直线x﹣y+

，可得a2=2b2．由于以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆

=0相切，可得

=b，可得a2=2．即可得出椭圆C的方程．

，

l2的斜率都存在，y=k（II）由题意可知：直线l1，设直线l1：（x﹣1），直线l2：

设M（x1，y1），N（x2，y2），分别与椭圆的方程联立可得M，N的坐标，可得直线MN的方程，即可得出． 【解答】解：（I）∵

，∴a2=2c2=b2+c2，∴a2=2b2，

=0相切，

∵以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+∴

=b，

∴b=1．∴a2=2． ∴椭圆C的方程为：

．

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