江苏2018高三数学一轮复习 基本初等函数

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 两点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) ?4ac－b??? ，＋∞?4a?b??在?－∞，－2a?上单调递减； ???b?在?－2a，＋∞?上单调递增 ??2f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) (－∞，＋∞) 4ac－b???－∞，? 4a??b??在?－∞，－2a?上单调递增； ???b?在?－2a，＋∞?上单调递减 ??2单调性 对称性 b函数的图象关于x＝－2a对称 诊 断 自 测

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2

是幂函数．( )

(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )

4ac－b2

(4)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4a.( )

2

解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2

不是幂函数，(1)错．

(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错．

4ac－bbb

(4)对称轴x＝－2a，当－2a小于a或大于b时，最值不是4a，故(4)错． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm________．

2－m－2

2

的图象不经过原点，则实数m的值为

2

?m－3m＋3＝1，

解析 由?2解得m＝1或2.

?m－m－2≤0，

经检验m＝1或2都适合． 答案 1或2

3．(必修1P47习题9改编)已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是________．

解析 由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1,2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6. 答案 6

4．(2016·全国Ⅲ卷改编)已知为________． 解析 因为所以c>a>b. 答案 c>a>b

5．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析 二次函数f(x)图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2. 答案 (－∞，－2]

考点一 幂函数的图象和性质

?12?【例1】 (1)(2017·济南诊断测试改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点?，?，

?22?则k＋α＝________.

(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是________． 2?1?解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f?2?＝2，

??213?1?所以?2?α＝2，解得α＝2，从而k＋α＝2.

??(2)因为函数y＝

的定义域为[0，＋∞)，

在(0，＋∞)上是增函数，则a，b，c的大小关系

且在定义域内为增函数，

＋1≥0，?2m2

所以不等式等价于?m＋m－1≥0，

?2m＋1>m2＋m－1.

??

－5－1解得?m≤或m≥

2

??－1＜m＜2，

5－1

即2≤m<2.

1m≥－2，5－12，

3?5－1?

答案 (1) (2)?，2? 2?2?

规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；

(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1,1)，在第一象限的图象下降．

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

【训练1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是________(填序号)．

(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn

2－3n

(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)

上是减函数，则n的值为________． 解析 (1)设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2，

1

∴α＝2，因此f(x)＝x，根据图象的特征，③正确． (2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn

2

?n＋2n－2＝1，∴?2∴n＝1， ?n－3n<0，

2－3n

在(0，＋∞)上是减函数，

又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.

答案 (1)③ (2)1

考点二 二次函数的图象与性质 【例2】(2017·无锡调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．

解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15， 故f(x)的最大值是35.

(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4， 故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．

22

x＋2x＋3＝?x＋1?＋2，x≤0，?2

(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x－2|x|＋3＝?2 2

?x－2x＋3＝?x－1?＋2，x>0，

其图象如图所示，

又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数.

规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意：

(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．

【训练2】(2017·南京模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. 解析 由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，