广东省广州市海珠区2016-2017学年八年级下学期期末考试数学试题（解析版）

∴∠B=90°，AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC，

∵矩形沿AC折叠，点D落在点E处， ∴△ACD≌△ACE， ∴∠DCA=∠ECA， ∴∠BAC=∠ECA， ∴AF=CF，

设AF=CF=x，则BF=8﹣x，

在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2=CF2， 即42+（8﹣x）2=x2， 解得：x=5， ∴AF=5；

（2）S△ACF=AF?BC=×5×4=10； （3）连接PF，

×AF×PM+×CF×PN=S△ACF=10， ∴PM+PN=4．

24．（14分）如图，已知四边形OABC是平行四边形，点A（2，2）和点C（6，0），连结CA并延长交y轴于点D．

（1）求直线AC的函数解析式．

（2）若点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向右运动，过点P、Q分别作x轴垂线交直线CD和直线OA分别于点E、F，猜想四边形EPQF的形状（点P、Q重合除外），并证明你的结论． （3）在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形EPQF是正方形？ 【考点】FI：一次函数综合题．

【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；

（2）先利用待定系数法求出直线OA的解析式，进而求出点E，F坐标，即可得出PE=FQ，即可得出结论；

（3）先分两种情况（点Q在点P左侧或右侧）求出PQ，利用PE=PQ建立方程即可求出时间．

【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵点A（2，2）和点C（6，0）， ∴∴

， ，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+3；

（2）如图1，

∵点A的坐标为（2，2）， ∴直线OA的解析式为y=x，

∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向右运动， ∴OQ=t， ∴F（t，t）， ∴FQ=t，

∵点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向左运动， ∴CP=2t， ∴OP=6﹣2t，

由（1）知，直线AC的解析式为y=﹣x+3， ∴E（6﹣2t，t）， ∴PE=t， ∴PE=FQ，

∵FQ⊥x轴，PE⊥x轴， ∴∠PQF=90°，FQ∥PE， ∵PE=FQ，

∴四边形PEFQ是平行四边形， ∵∠PQF=90°，

∴平行四边形PEFQ是矩形；

（3）由（2）知，PC=2t，OQ=t，PE=t，

∴PQ=OC﹣OQ﹣CP=6﹣t﹣2t=6﹣3t，或PQ=OQ+CP﹣OC=3t﹣6， ∵四边形PEFQ是正方形， ∴PQ=PE，

∴6﹣3t=t或3t﹣6=t，

∴t=或t=3，即：点P运动秒或3秒时，四边形EPQF是正方形．

25．（14分）如图，正方形ABCD的边长是2，点E是射线AB上一动点（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE交射线CB于点F、交DA的延长线于点G． （1）求证：DE=GF．

（2）连结DF，设AE=x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式． （3）当Rt△AEG有一个角为30°时，求线段AE的长．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）过点F作FH⊥DA，垂足为H，只要证明，△FHG≌△DAE即可解决问题； （2）由（1）可知DE=FG，所以△DGF的底与高可以关键勾股定理用含x的式子表示出来，所以解析式就可以表示出来； （3）分两种切线画出图形分别解决即可； 【解答】（1）证明：过点F作FH⊥DA，垂足为H，

∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°， ∴四边形ABFH是矩形， ∴FH=AB=DA， ∵DE⊥FG，

∴∠G=90°﹣∠ADE=∠DEA， 又∴∠DAE=∠FHG=90°， ∴△FHG≌△DAE， ∴DE=GF．

（2）∵△FHG≌△DAE ∴FG=DE=

∵S△DGF=FG?DE， ∴y=

，

，

∴解析式为：y=

（0＜x＜2）．

（3）①当∠AEG=30°时，

在Rt△ADE中，∵∠DAE=90°，AD=2，∠AED=90°﹣30°=60°， ∴AE=AD?tan30°=，

②当∠AEG=60°时，

在Rt△ADE中，∵∠DAE=90°，AD=2，∠AED=90°﹣60°=30°，∴AE=AD?tan60°=2

，

综上所述，满足条件的AE的值为2或

．