2018-2019学年浙江省宁波市九校高二第一学期期末联考数学试题（解析版）

所以作所以因为

平面，又平面，所以平面平面

.

平面.

于，连就是直线，

，所以与平面，

所成的角. ，

所以，所以.

所以，

故直线与平面所成的角的正弦值为.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21．已知点是圆点.

上的动点，定点

，线段

的垂直平分线交

于

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作两条斜率之积为的直线，，，分别与轨迹交于，和，，记

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得到的四边形的面积为，求的最大值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

的

【解析】（Ⅰ）利用椭圆定义即可得到点的轨迹的方程；（Ⅱ）设其中一条直线

方程为，可得可得,故

，结合均值不等式可得结果.

【详解】

（Ⅰ）∵点是线段∴

，∴

的垂直平分线上的点，

，

∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 其中

，

，∴

，

，

.

因此，点的轨迹方程是.

（Ⅱ）设其中一条直线

的方程为

，代入椭圆方程可得：

，

设即

，，则

，代入椭圆方程可得：

，

设，到直线的距离分别为和，则

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,

,

,

,

当，即时取“”

的最大值.

【点睛】

本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式，属于中档题． 22．如图，点

，

在抛物线，记线段

外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为

的中点为.

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（Ⅰ）求切线

，

的方程；

的中点在抛物线上；

（Ⅱ）证明：线段

（Ⅲ）设点为圆【答案】（Ⅰ）切线

的方程为

上的点，当

,切线

取最大值时，求点的纵坐标. 的方程为

.

（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）

，的方程；（Ⅱ）由（1）可得

，

【解析】（Ⅰ）结合导数的几何意义可得切线

，故，.再结合M点的坐标即可明确在抛物线上；（Ⅲ）

由题意可得

结合均值不等式即可得到结果. 【详解】 （Ⅰ）切线

的方程为

的方程为的方程为：

. 设，则.

，即.

，

同理可得，切线（另解：设切线

由消去后可得：∴

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