汕头市2015—2016学年度高二期末统考试题 高二理科数学（含答案）

参考

一、选择题： 题号 1 选项 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 答案

8 A 9 A 10 B 11 B 12 B 二、填空题：

13、22, 14、{m|m?3},或m??3,???， 15、三、解答题.

17、解：(1)当n?1时，2S1?3a1?1,?a1?1…………（1分） 当n?2时，2an?2Sn?2Sn?1??3an?1???3an?1?1?，即

4?， 16、?160 3an?3…………（3分） an?1?数列?an?是以a1?1为首项，3为公比的等比数列，?an?3n?1…………（4分）

设?bn?的公差为d,b1?3a1?3,b3?S2?3?7?2d?3,d?2…………（5分） 所以bn?3?2(n?1)?2n?1…………（6分）

2n?13572n?1…………（7分） ,T?????n3n3132333n2n?13572n?1cn?n,Tn?1?2?3??n①

3333313572n?1Tn?2?3?4??n?1②，…………（8分） 33333⑵由（1）可知道：cn?由①-②得，

21112n?1Tn?1?2(2?3?........?n)?n?1…………（9分） 333331?2?31??1??1???3???3?1?nn?13?????2n?1…………（10分） 3n?112n?1?1???1????n?1…………（11分） 33?3?所以Tn?2?n?2…………（12分） n3??ABC??BAD?90，BC?2AD，18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P?ABCD中，

?PAB与?PAD都是等边三角形.（1）证明：PB?CD；

（2）求二面角A?PD?B的余弦值.

证明：（1）取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形…………（1分） 过P作PO?平面ABCD,垂足为点O，由?PAB与?PAD都是等边三角形. 不难得到PA?PB?PD,所以OA?OB?OD,…………（2分） 即点O为正方形ADEB的对角线交点，故OE?BD…………（3分） 所以OE?平面PBD，又PB?平面PBD，所以OE?PB…………（4分） 因为O,E分别是BD,BC的中点，所以OE//CD,所以PB?CD；…………（6分） （2）由（1）知，可以O为坐标原点，OE,OB,OP为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，设AB?2，则点A(?2,0,0),D(0,?2,0),P(0,0,2)…………（7分） 所以AD?(2,?2,0),AP?(2,0,2),…………（8分）

??n?AD?2x?2y?0设平面PAD的一个法向量为n?(x,y,z)所以?，

??n?AP?2x?2z?0取x?1得到y?1,z??1，所以n?(1,1,?1)…………（9分）

又OE?平面PBD，所以可以取平面PBD的一个法向量m?(1,0,0)…………（10分） 由图像可知，该二面角为锐角，可设为? 所以cos??n?mn?m?13.…………（12分） ?3319. 2016年4月21日上午10时，某省会首次启动重污染天气II级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁） ?15,25? ?25,35? ?35,45? ?45,55? ?55,65? ?65,75? 频数 赞成人数 5 4 10 6 15 9 10 6 5 3 5 4 (1)完成被调查人员的频率分布直方图；

(2)若从年龄?15,25?，?25,35?的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为?，求随机变量?的分布列和数学期望.

解：(1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图……………（2分） 频率组距0.030.020.0115253545556575年龄……………（5分）

(2)?的所有可能取值为：0,1,2,3……………（6分）

22C6C461515P???0??2?2???……………（7分）

C5C10104575 1112C62C4C4?C6C441562434P???1??2?2?2??????2C5C10C5C101045104575……………（8分）

2122C6C4C4C44156622……………（9分） P???2??2?2?2?2?????C5C10C5C10104510457512C4C4664P???3??2?2???……………（10分）

C5C10104575所以?的分布列是：

? P 0 1 2 3 34224 75757515342246所以?的数学期望是E??0??1??2??3??.……………（12分）

75757575515 75220.如图，已知抛物线C1:y?4x的焦点为F，椭圆C2的中心在原点，F为其右焦点，点

M为曲线C1和C2在第一象限的交点，且|MF|?5．（1）求椭圆C2的标准方程； 2（2）设A,B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线y?x上，

P(3,2)为定点，求?PAB面积的最大值．

x2y2?2?1(a?b?0)2C2ab解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为c．

由已知，点F(1,0)，则c?1．………………（1分）

设点

M(x0,y0)(x0,y0?0)，据抛物线定义，得

|MF|?x0?1．由已知，

x0?1?52，则

x0?33M(,6)2．从而y0?4x0?6，所以点2．………………（2分）

27?3?|ME|???1??6?2． ?2?设点E为椭圆的左焦点，则E(?1,0)，

2a?|ME|?|MF|?据椭圆定义，得

75??622，则a?3．……………（4分）

x2y2??1222C2b?a?c?898从而，所以椭圆的标准方式是．……（5分）

2y12?4x1,y2?4x2A(x1,y1)B(x2,y2)D(m,m)（2）设点，，，则．

两式相减，得

2y12?y2?4(x1?x2)，即

y1?y24?x1?x2y1?y2．因为D为线段AB的中点，则

y1?y2?2m．