(word完整版)一元二次方程的知识点梳理

1、试用配方法说明?10x2?7x?4的值恒小于0。 2、已知x2?1x2?x?1x?4?0，则x?1x? . 3、若t?2??3x2?12x?9，则t的最大值为 ，最小值为 。 类型四、公式法 ⑴条件：?a?0,且b2?4ac?0?

⑵公式： x??b?b2?4ac,?a?0,且b22a?4ac?0?

典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程：

⑴3?1?x?2?6. ⑵?x?3??x?6???8. ⑶x2?4x?1?0

⑷3x2?4x?1?0 ⑸3?x?1??3x?1???x?1??2x?5?

例2、在实数范围内分解因式：

（1）x2?22x?3； （2）?4x2?8x?1. ⑶2x2?4xy?5y2

说明：①对于二次三项式ax2?bx?c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2?bx?c=0，求出两根，再写成

ax2?bx?c=a(x?x1)(x?x2).

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、 “降次思想”的应用 ⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。 典型例题： 例1、 已知x2?3x?2?0，求代数式?x?1?3?x2?1x?1的值。

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a3?2a2?5a?1例2、已知a是一元二次方程x?3x?1?0的一根，求的值。 2a?12

例3、用两种不同的方法解方程组

?2x?y?6,?22?x?5xy?6y?0.(1)(2)

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.

考点四、根的判别式b2?4ac 根的判别式的作用： ①定根的个数； ②求待定系数的值； ③应用于其它。 典型例题： 例1、若关于x的方程x2?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。 例2、关于x的方程?m?1?x2?2mx?m?0有实数根，则m的取值范围是( ) A.m?0且m?1 B.m?0 C.m?1 D.m?1 例3、已知关于x的方程x2??k?2?x?2k?0 (1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

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(2)若等腰?ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC的周长。

例4、已知二次三项式9x2?(m?6)x?m?2是一个完全平方式，试求m的值.

?x2?2y2?6,例5、m为何值时，方程组?有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

?mx?y?3.

针对练习： 1、当k 时，关于x的二次三项式x2?kx?9是完全平方式。

2、当k取何值时，多项式3x2?4x?2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3、已知方程mx2?mx?2?0有两个不相等的实数根，则m的值是 . ?y?kx?2,4、k为何值时，方程组?2

?y?4x?2y?1?0.（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.

5、当k取何值时，方程x2?4mx?4x?3m2?2m?4k?0的根与m均为有理数？

考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例1、关于x的方程?m?1?x2?2mx?3?0

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⑴有两个实数根，则m为 , ⑵只有一个根，则m为 。

例2、 不解方程，判断关于x的方程x2?2?x?k??k2??3根的情况。

考点六、根与系数的关系 ⑴前提：对于ax2?bx?c?0而言，当满足①a?0、②??0时， 才能用韦达定理。

bc⑵主要内容：x1?x2??,x1x2?

aa⑶应用：整体代入求值。 典型例题： 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2?8x?7?0的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ）

A.3 B.3 C.6 D.6

例2、已知关于x的方程k2x2??2k?1?x?1?0有两个不相等的实数根x1,x2， （1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错

常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知a?b，a2?2a?1?0，b2?2b?1?0，求a?b? 变式：若a2?2a?1?0，b2?2b?1?0，则

ab?的值为 。 ba例5、已知?,?是方程x2?x?1?0的两个根，那么?4?3?? . 针对练习： - 8 -