(word完整版)一元二次方程的知识点梳理

一、知识结构： ?解与解法?一元二次方程??根的判别

?韦达定理??二、考点精析 考点一、概念 ②③

(1)定义：①只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

元二次方程。

(2)一般表达式：ax2?bx?c?0(a?0) ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

112 A 3?x?1??2?x?1? B 2??2?0

xx

C ax2?bx?c?0

D x2?2x?x2?1

变式：当k 时，关于x的方程kx2?2x?x2?3是一元二次方程。

例2、方程?m?2?xm?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

针对练习： 1、方程8x2?7的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程?m?2?xm?1?0是关于x的一元一次方程， ⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

3、若方程?m?1?x2?m?x?1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解

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⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知2y2?y?3的值为2，则4y2?2y?1的值为 。

例2、关于x的一元二次方程?a?2?x2?x?a2?4?0的一个根为0，则a的值为 。 例3、已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的系数满足a?c?b，则此方程 必有一根为 。

例4、已知a,b是方程x2?4x?m?0的两个根，b,c是方程y2?8y?5m?0的两个根， 则m的值为 。 针对练习： 1、已知方程x2?kx?10?0的一根是2，则k为 ，另一根是 。 2、已知关于x的方程x2?kx?2?0的一个解与方程⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

3、已知m是方程x2?x?1?0的一个根，则代数式m2?m? 。 4、已知a是x2?3x?1?0的根，则2a2?6a? 。 5、方程?a?b?x2??b?c?x?c?a?0的一个根为（ ）

A ?1 B 1 C b?c D ?a

x?1?3的解相同。 x?16、若2x?5y?3?0,则4x?32y? 。 考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：x2?m?m?0?,?x??m

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对于?x?a?2?m，?ax?m?2??bx?n?2等形式均适用直接开方法

典型例题： 例1、解方程：?1?2x2?8?0; ?2?25?16x2=0; ?3??1?x?2?9?0;

例2、若9?x?1?2?16?x?2?2，则x的值为 。

针对练习：下列方程无解的是（ ）

A.x2?3?2x2?1 B.?x?2?2?0 C.2x?3?1?x D.x2?9?0

类型二、因式分解法:?x?x1??x?x2??0?x?x1,或x?x2 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， 方程形式：如?ax?m?2??bx?n?2，?x?a??x?b???x?a??x?c? ，

x2?2ax?a2?0

典型例题： 例1、2x?x?3??5?x?3?的根为（ ）

A x?52 B x?3 C x521?2,x2?3 D x?5 例2、若?4x?y?2?3?4x?y??4?0，则4x+y的值为 。 变式1：?a2?b2?2??a2?b2??6?0,则a2?b2? 。

变式2：若?x?y??2?x?y??3?0，则x+y的值为 。

变式3：若x2?xy?y?14，y2?xy?x?28，则x+y的值为 。 例3、方程x2?x?6?0的解为（ ） A.x1??3，x2?2 B.x1?3，x2??2 C.x1?3，x2??3 D.x1?2，x2??2

针对练习： 1、下列说法中：

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①方程x2?px?q?0的二根为x1，x2，则x2?px?q?(x?x1)(x?x2) ② ?x2?6x?8?(x?2)(x?4). ③a2?5ab?6b2?(a?2)(a?3)

④ x2?y2?(x?y)(x?y)(x?y)

⑤方程(3x?1)2?7?0可变形为(3x?1?7)(3x?1?7)?0 正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、以1?7与1?7为根的一元二次方程是（） A．x2?2x?6?0 B．x2?2x?6?0 C．y2?2y?6?0 D．y2?2y?6?0

3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足?x?y?3??x?y??2?0，则x+y的值为（ ） A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2

15、方程：x2?2?2的解是 。

xb?b2?4ac?类型三、配方法ax?bx?c?0?a?0???x??? 22a?4a?22在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。 典型例题： 例1、 试用配方法说明x2?2x?3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式x2?y2?2x?4y?7的最小值。 例3、 已知x2?y2?4x?6y?13?0，x、y为实数，求xy的值。

针对练习：

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