数学史教案（朱家生）

会生活密切相关的81个数学实际应用问题，按性质分为九类，每类九题，共18卷。其中，他推广传统的“开方法”，创立了“正负开方术”。（）（71）

4.3.2中国剩余定理

秦九韶对同余问题的探讨，是由于它“不载《九章》，未有能推者”，所以他才发愤钻研的，经过秦九韶的刻苦钻研，终于使解决一次同余式（组）问题的方法形成了较为系统的数学理论，其功绩是十分巨大的。（）（73）与中国相比，西方数学家对于同余式（组）的研究则要迟的多。国外研究同余问题并取得一定成绩的数学家有：斐波那契、欧拉、高斯。他们的方法与秦九韶的“更相减损”思想完全一致。（73）

在西方，直到18世纪，经欧拉、拉格朗日、和高斯三代巨匠前后60多年的努力，才比较系统地建立起一次同余式的概念。这在当时的数学界引起了很大的轰动，当时据世界数学中心地位的彼得堡科学院、柏林科学院等竞相刊登这些成果，以示祝贺。然而他们并不知道，早在500年前的东方，相应的成果就已灿烂夺目了。当然，他们的研究也弥补了中国数学的不足，即作出了更为细致的讨论和严格的证明。（在西方，直到几世纪？经谁三代巨匠前后多少年的努力？才比较系统地建立起一次同余式的概念。西方在同余问题上的研究弥补了中国数学的哪些不足？）（74）

由于客观条件的限制，中国传统数学的这一杰出成就（一次同余式问题）很晚才被西方数学界所知。（74）

1839年，毕欧在《亚洲杂志》上发表了一篇关于程大位《算法统宗》的文章，文中论述了“孙子问题”，但这个关于中国剩余定理的最早报道在欧洲并没有引起人们的重视。（74）

英国人伟烈亚力在他的论文《中国科学的论述》中论述了《孙子算经》中的“孙子问题”，在这篇论文中，最重要的一点是伟烈亚力首次向西方解释了秦九韶的“大衍总数术”，并介绍了秦九韶的第一道题的全部解说，以及其它问题的一些注记。1856年，伟烈亚力的这篇论文被译成德文发表，于是，中国的“大衍术”开始在欧洲数学界为人们所知晓，但是由于伟烈亚力解释的不确切和翻译的错误，人们对这一成就的认识并不充分。当时，德国著名数学史家康托尔在他的《关于数学的历史》一书中就认为：“看来中国人在不定分析研究方面比同时有文化的民族较为逊色。”（74）

首先认识到中国“大衍术”真正意义的是德国人马蒂生。他从1876年开始，发表了一系列论著，高度评价了秦九韶的“大衍求一术”，指出它实质上与高斯定理是等价的，并且订正了德文翻译的错误，给出剩余问题的正确阐述。马蒂生的工作终于改变了欧洲学者对这一问题的看法。（首先认识到中国“大衍术”真正意义的是哪位德国人？马蒂生的工作改变了欧洲学者对中国什么问题的看法？）（74）

康托尔在读了马蒂生的论述后，承认这一法则（大衍求一术）的正确性并由衷地赞美它，称秦九韶是“最幸运的天才”。（谁在读了马蒂生的论述后，称秦九韶是“最幸运的天才”？）（74）

从数学史的观点来看，一篇最重要的论文是玛赫勒1957年发表的“中国剩余定理”，正是这篇论文首次提出用中国来命名这一伟大的数学成就，以表彰中国数学家们所做出的杰出贡献。这一命名很快就风行全球，并被教科书所采纳。（1957年西方谁发表的“中国剩余定理”，首次提出用中国来命名这一伟大的数学成就？）（74）

4.3.3“天元术”和“四元术”

“天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度，这就是半符号代数

的产生。由于高次方程数值解法的发展，必须引起人们对列方程方法的探求。据研究，这一先进的数学方法产生于12世纪，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作。（ “天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度，这就是什么代数的产生？谁的《测圆海镜》和《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作？）（75）

李冶（1192—1279）抛弃了那种每一项都要用一个文字来表示的繁琐的方法，形成了一种简捷的固定形式。作为应用，他在《测圆海镜》中利用“天元术”解决了六七百条几何命题的证明，主要是勾股容圆问题。其《益古演段》大都阐述平面图形的面积关系。（）（75）

当问题中含有不止一个未知数时，“天元术”自然要被推广了。元代数学家朱世杰推广了“天元术”，提出了“四元术”来解四元方程，可以说这是中国筹算代数学的顶峰。（元代数学家朱世杰推广了“天元术”，提出了“四元术”来解四元方程，可以说这是中国什么代数学的顶峰？）（74）

朱世杰是一位杰出的数学家与数学教育家，他精通《九章算术》，集宋、金、元数学之大成，先后写成《算学启蒙》三卷（1299年）与《四元玉鉴》三卷（1303年），前者浅显，后者深奥，二者互为表里，互相补充，都是中国古代数学的重要著作。《四元玉鉴》的主要内容之一就是对多元方程的研究。他推广“天元术”和“正负开方术”而给出的“四元术”，实际是一种四元高次方程组的布列与求解方法。（朱世杰集什么数学之大成，先后写成《算学启蒙》与《四元玉鉴》？）（75）

在《四元玉鉴》中，朱世杰给出了四元高次方程的一种固定记号，他引进“天、地、人、物”四元来表示四个未知数。（76）

在“四元术”中最精彩的是所谓“相消法”，既由该方程经过变形得到一个一元的高次方程。其主要步骤是“剔而消之”、“互隐通分相消”和“内外相消”这三步。朱世杰的相消法是中国数学史上一项杰出的成就。西方这一成果要比朱世杰晚500年。因此，美国科学史家萨顿称朱世杰是“贯穿古今的一位最杰出的数学家”。（在《四元玉鉴》中，朱世杰给出了四元高次方程的一种固定记号，他引进什么来表示四个未知数？在“四元术”中最精彩的是什么方法？美国科学史家萨顿称谁是“贯穿古今的一位最杰出的数学家” ？）（76）

沈括的名著《梦溪笔谈》，被李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。该书提出的高阶等差数列求和的“隙积术”，由圆的直径和高计算弓形弧长的“会圆术”，以及计算棋局总数的“棋局都数”等课题都具有很高的学术价值。（谁的名著《梦溪笔谈》，被谁誉为“中国科学史的里程碑”？沈括的《梦溪笔谈》提出的高阶等差数列求和的什么术？由圆的直径和高计算什么的“会圆术”？ ）（76）

特别需要指出的是，宋元数学不仅是中国数学史上最辉煌的一页，同时也是中世纪时期世界数学史上最丰富的一页。然而，由于后继无人等诸方面的原因，中国数学发展到宋元高峰以后突然中断了，随之而来的是明代数学的断代。（）（76）4.4明清时期—中国传统数学的衰落与复苏

从明代起，中国封建社会开始衰落，资本主义因素开始慢慢地萌发了，但由于根深蒂固的封建帝王统治的抑制，是资本主义的幼芽未能顺利得以发展。统治阶级为了维护其统治地位，规定科举制必须采用“八股”文体，使得大批的知识分子“皓首穷经”，而鄙夷天文、数学等专门学问为“奇技淫巧”，加上生产水平低下与数学理论

高度发展相脱节的实际状况，致使中国数学由宋元时期的蓬勃发展而突然走向衰落。（一个典型的例子是，明代有两个很有影响的数学家唐顺之和顾应祥，他们在读李冶的《测圆海镜》时，竟然不能理解“天文术”的意义；他们还自作聪明，认为原著中的细草是多此一举，故把它们全部删去，使得后世人们很难理解李冶的原意了。））（76）

随着明代手工业经济及航海贸易的发展，商业数学倒是异军突起，有了长足的进步。特别是珠算，自宋代提出了改革筹算，到了元明之际，珠算盘作为数学计算工具，其应用日益广泛。到了明代中叶，珠算已在全国普及，彻底完成了筹算向珠算的转变。（什么时候提出了改革筹算？什么时候彻底完成了筹算向珠算的转变？）（76）

杭州数学家吴敬积20年之功完成了《九章算法比类大全》，该书收集了大量与商业活动有关的计算问题，导致了珠算的进一步发展。16—17世纪有关珠算的书籍很多，其中程大位的《直指算法统宗》是一本比较完备的应用算术书，流传最广，一度几乎户藏一册。（杭州数学家谁积20年之功完成了《九章算法比类大全》，该书收集了大量与商业活动有关的计算问题，导致了珠算的进一步发展？ 16—17世纪有关珠算的书籍很多，其中谁的什么书是一本比较完备的应用算术书，流传最广，一度几乎户藏一册？）（77）

由于珠算盘携带方便，拨动自如，并且有口诀相配合，计算迅速准确，是当时世界上最好的计算工具，直至电子计算机高度发展的今天，仍在一些国家广泛使用，这不能不算是当时的一大成就。（为什么说珠算盘是当时世界上最好的计算工具？）（77）

明末清初，西方数学虽然受到封建统治阶级的排斥与禁锢，但还是通过传教、经商等途径陆续传入中国。（明末清初，西方数学通过什么途径传入中国？）（77）

西方数学传入中国是以意大利传教士利玛窦来华为起点。（以谁来华为起点？）（77）

1581年，利玛窦以西方近代数学及其他科学知识为敲门砖，踏入中国进行传教活动。他精通汉语，1600年与擅长中国传统数学并对西方数学有强烈兴趣的徐光启相识，便相约共同研究介绍西方科学。1606年，由利玛窦口授，徐光启笔述，翻译了欧几里得《几何原本》前六卷，这是翻译西方数学书籍的开始。利玛窦还和李之藻以同样的方式编译了《同文算指》（1613），这部书对中国算术影响较大，从此笔算的应用日益普及。（中国翻译西方数学书籍从什么时候开始？什么书对中国算术影响较大，从此笔算的应用日益普及？）（77）

入清以后，由于学习西方先进科学文化的方式得到了统治者的默许，各种西方科学知识的译著大量涌现。在数学方面，较著名的是英国传教士伟烈亚力与李善兰合作翻译的《几何原本》后九卷。在较为开明的康熙皇帝的支持下，自1690年至1721年，由法国传教士协助梅彀成等人编写的《数理精蕴》，堪称介绍西方初等数学知识的“百科全书”，它包括了几何学、三角学、代数学及算术等，成为当时人们学习研究西方数学的重要源泉。后来还逐步传入了对数法、平面三角、球面三角以及部分圆锥曲线等，但由于传教士自身的科学文化水平有限，真正代表当时西方数学水平的微积分理论和系统的解析几何理论并未能及时传入中国。（77）

西方数学知识的传入，给濒于死亡的中国传统数学注入了新鲜的血液，使之由

衰落开始转入复苏。这时的数学研究工作出现了两个倾向，一是对西方传入的数学进行整理、加工、消化、吸收；二是重新钻研整理中国的传统数学。（）（77）

到了20世纪初，中国沦为半封建半殖民地，受世界先进的现代科学文化的影响，中国传统数学除了少数数学史工作者外已无人问津，数学教科书与西方已大致相同，中国数学开始走上了世界化的道路。（）（78）

4.5中国传统数学的特点

总而言之，中国传统数学源远流长，常汲不竭，长期以来，人们谈论数学，言必称希腊，这是不公平的。其主要原因是人们对中国传统数学与希腊数学迥然不同的风格认识不足。由于中国传统数学自身的历史渊源和独特的发展道路，决定了中国传统数学具有以下一些重要的特点：

（1）追求实用：与古希腊数学追求纯粹的“理念”形成强烈的对比，中国传统数学具有浓厚的应用色彩。（78）

（2）注重算法：中国传统数学实用性的特点，决定了它以解决实际问题和提高计算技术为主要目标，因此，它的成果都表现为算法的形式。（“问—答—术”的体系）

（3）寓理于算：中国传统数学注重算法，并不等于她就没有逻辑推理，没有建立起自身的理论体系。中国传统数学以追求实用为主，明“法”隐“理”，一般数学著作只叙述一个个算法，而其算理常常隐而不显。（79）

思考题： 1、作为世界四大文明古国之一，中国在公元前3000年至公元前1500年间有哪些数学成就？试将这些成就和其他古国作一比较。

2、中国古代的数学教育可以称得上是世界上最早的，在《周礼》中关于数学教育的论述有哪些？它们都分别阐述了有关数学教育的那些观点？ 3、在春秋战国时期产生了那些重要的、可与古希腊相媲美的数学思想？试将它门作一比较。 4、《九章算术》的主要内容是什么?其具有世界意义的数学成就又有哪些？

5、刘徽是中国历史上最重要的数学家之一，他的《九章算术注》对于中国传统数学体系的形成具有十分重要的意义。试阐述他的主要数学成就。 6、球体积的计算常常被用来衡量各个国家和地区数学发展水平的一把尺子，中国数学家在这方面的成就是非常杰出的。试阐述从《九章算术》到刘徽、祖氏父子在这方面的工作与成就。

7、宋元时期最杰出的数学家有哪些？试阐述他们的代表作和主要数学成绩就。 8、明代是中国传统数学发展处于低谷的一个时期，试探讨这一时期数学研究产生衰落的原因。

9、中国传统数学是世界数学发展长河的一支不容忽视的源头，与西方数学相比，它有哪些重要特点？