数学史教案（朱家生）

第五章希望的曙光—欧洲文艺复兴时期的数学

一、教学时间安排：3学时 二、教学目的、要求：

1、了解中世纪欧洲黑暗社会制度对数学发展的抑制； 2、了解中世纪欧洲主要数学思想；

3、了解欧洲文艺复兴时期数学的发展状况。 三、教学的重点和难点：

中世纪欧洲黑暗社会制度对数学发展的抑制、中世纪欧洲主要数学思想、欧洲文艺复兴时期数学的发展状况的介绍

四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助 五、教学过程设计：导入、新授课、小结 六、教学内容。

从15世纪中期到16世纪末，这段时间在欧洲称为文艺复兴时期。在这一时期，欧洲，特别是西欧，出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的喜人景象，科学文化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。从此欧洲的数学开始走到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中心。（）（81）

5.1欧洲中世纪的回顾 从5世纪中叶到15世纪，在科学史和哲学史上称为欧洲的中世纪黑暗时期。（）（81）

在这1000年左右的时间内，整个欧洲特别是西欧，生产停滞，经济凋敝，科学文化落后，既没有像样的发明创造，也没有值得一提的科学著作。出现这一技术大倒退的原因是多方面的。（）（81）

5世纪，罗马人占领了希腊本土后。罗马人对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的几何和测量。另一方面，这一时期又是基督教绝对统治的时期。基督教强烈反对研究与传播自然科学知识。认为“从圣经以外获得的任何知识，如果它是有害的，理应加以排斥，如果它是有益的，那么它就已经包含在圣经里了。”于是，圣经就成了这一时期人们唯一能够学习、研究的“百科全书”。（）（81）

数学是这个时期受到最大排斥的学科之一。（因为人们常常把它与异教徒的星相术混为一谈，因此在这个时期的法典中甚至明文禁止学习与研究数学。）法典中规定：“任何人不得向占卜人与数学家请教”，“彻底禁止应受到谴责的数学技艺”。由此可见，在这个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自由的学术空气、对物理世界的关注、研究抽象概念的兴趣等均已消失。（）（82）

罗马人博埃齐（罗马贵族），曾不顾禁令用拉丁文从古希腊著作的片段中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的数学著作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博埃齐本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。（）（82）

7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。当时，对耶稣复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德

大师就是最先求得复活节的人。（谁在数学方面，曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法，最先求得复活节，并被称为“英格兰文化之父”？）（82）

在1100年左右开始的十字军虽然给阿拉伯人带来了苦难，但欧洲人也从阿拉伯人以及拜占庭的希腊人那里学到了希腊、印度和阿拉伯人的文化，其中当然包括数学。（十字军东征除了给阿拉伯人带来痛苦外，在科学上是否也有积极一面？）这些发现又进一步激起他们的更大兴趣。他们大力搜求古希腊的著作，并把它们译为拉丁文，在欧洲传播，这就给欧洲大陆带来了新鲜的学术思想。在这些思想的影响下，欧洲人开始对自然现象进行理性的探讨。其中英国的哲学家培根可以说是这种理性探讨的先驱。（英国的哲学家培根是欧洲理性探讨的先驱？）（82）

培根是英格兰人（贵族），曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识感兴趣，号称“万能博士”。他提倡科学，重视现实，反抗权威（应为不惧权威）。他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的。（精辟）（英格兰人培根为何号称“万能博士”？哪位哲学家认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的？在谁看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的？）（82）

培根认为：“寻找和发现真理有两条路，也只有两条路，一种方法是通过感觉和特例飞跃到普遍的公理，然后通过这些原则及一劳永逸的真理发现和判断派生的公理。另一种方法是从感觉和特例收集公理，不断地逐步上升，这样最后达到更普遍的公理。这后一种方法是真实的，但尚未有人使用过。”他号召人们面向自然，进行有目的的试验，去了解自然，征服自然。虽然培根成为了那个时代的牺牲品，但他的呐喊还是在漫漫黑夜中点燃了人们复苏的愿望。（培根认为寻找和发现真理有哪两条路？培根号召人们如何对待自然？）（82）

意大利的列昂纳多.斐波那契是欧洲黑暗时期最出色的数学家。1202年，斐波那契综合阿拉伯和希腊资料著成一部重要著作《算盘书》，这部著作共15章，主要介绍算术与代数，内容非常丰富，包括：印度—阿拉伯数码的读法与写法；整数与分数的计算；平方根与立方根的求法；线性方程组和二次方程的解法等，给出了数学在实物交易、合股、比例法和测量几何中的应用。这部著作还给出一个有趣的所谓“兔子问题”。（）（83）

斐波那契还写过一部纯几何著作《实用几何》，书中运用欧几里得等人的方法介绍了直线型的面积、圆的度量、球和圆柱等。（83）

欧洲黑暗时期数学家的数学成就与古希腊的大师们相比，实在是微不足道了。 历史总是要发展的，人们对长达1000年之久的黑暗统治已经忍无可忍，社会的、政治的、经济的和文化的种种原因，使得这一黑暗时期终于走到头了，取而代之的是一场规模宏大的文艺复兴运动。（）（83）

5.2欧洲文艺复兴时期的数学

15世纪，随着拜占庭帝国的瓦解，难民们带着包括古希腊文化在内的财富逃亡到意大利，使得意大利学者能直接学习与探究反映古希腊人杰出成就的原始经典著作，而在此之前，他们所接触的只是一些水平不高的阿拉伯文译本。这些古希腊大师们深刻的思想震撼了这个富有创造力的民族。（）（84）

从社会发展的角度来看，这个时期欧洲的封建制度开始解题，新兴的资产阶级逐渐走上历史舞台。为了维护与发展自身的利益，他们首先在意识形态领域中展开了反对封建宗教神学的文化斗争。他们打出复兴古典文化的旗帜，大绝不是想回到古代去，而是要从古代文化中汲取那些适合资产阶级需要的思想，造就一种新的世界观和意识形态，以便与封建制度的精神支柱—宗教世界观相抗衡。另外一方面

另外一方面，欧洲人由于受宗教禁锢的时间太久了，他们渴望了解外部的世界，这就使得他们的航海技术达到了前无古人的地步。1492年哥伦布发现了欧洲大陆，1499年韦斯普奇横渡大西洋，在同一世纪中麦哲伦又环航了地球，这些都给欧洲人打开了一个个通向外界的窗口，异族丰富多彩的文化又给欧洲以强烈的刺激。（）（84）

所有这些都使得欧洲产生了史无前例的文艺复兴运动。这一运动首先起始于意大利半岛，继而蔓延到整个欧洲。在这片沉寂了近千年的土地上，呈现出一派生机勃勃的景象，其直接后果是造成了欧洲近代科学和文化艺术的解放与繁荣。（）（84）

数学作为其他学科的基础，加上她在古希腊文化中的崇高地位，在欧洲的文艺复兴中受到了广泛的重视。15世纪欧洲的数学活动多半是以意大利城市和中欧城市纽伦堡、维也纳、布拉格等为中心展开的。受商业、航海、天文和测量等影响。数学研究也集中在算术、代数和三角学方面。从地理位置与时间上来看，欧洲数学首先在意大利和德国崛起。德国人的贡献主要在天文学与三角学，而意大利人的卓越之处在于代数学的发展。法国直到16世纪末才显示出它的力量，主要包括韦达、笛卡儿、帕斯卡和费马等人的工作。（）（84）

5.2.1透视理论的创立与三角学的独立

文艺复兴时期在数学方面的最初突破是由艺术大师们完成的。当他们开始把自己创作的题材从宗教神学转向大自然的时候，所遇到的第一个难题就是如何把三维的现实世界反映到二维的画布上来。这一问题的最初研究者是布鲁内利斯，他第一个认真研究了透视法并试图运用几何方法来进行绘画。尝试从数学的角度去研究这一方法的却是阿尔贝蒂，阿尔贝蒂在《论绘画》一书中指出，在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃屏板，设想光线从眼睛或观测点发射到景物本身的一个点上，称这些光线叫光束棱锥或投影线，他们穿过屏板时所留下的集就构成了截景。这里已经涉及到透视学中的一些基本概念。虽然他没能解决这一问题，但这些正是射影几何学研究的出发点。（问题在下页）（85）

（为什么说文艺复兴时期在数学方面的最初突破是由艺术大师们完成的？谁第一个认真研究了透视法并试图运用几何方法来进行绘画？尝试从数学的角度去研究透视方法的却是谁？）（84）

第一个真正意义上对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的是德沙格。为了证明阿波罗尼斯的那些有关圆锥曲线的定理，他开始研究所谓“中心射影法”，他的小册子《论锥面截一平面所得结果的初稿》，尽管这部著作写作形式古怪，晦涩难懂，但恰充满了创造性的思想。德沙格的研究的出发点是有关圆锥曲线的定理证明。（第一个真正意义上对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的是谁？德沙格的研究的出发点是有关什么定理证明？）（85）

德沙格的同僚帕斯卡也在射影几何方面做出了杰出的贡献。帕斯卡年幼时体质很弱，为了不让他累着，他的父亲决定在其儿童时只能学习语言，禁止学习数学，但这反而激起了他的好奇心，在他的请求下，老师给他描述了这门学科，他由此开

始着迷于数学。通过自己的探索，他用折纸的方法找到了证明了三角形的三个内角之和等于一个平角的两种方法。他的父亲送了他一部欧几里得《几何原本》，从此帕斯卡走上了数学研究的道路。（可见数学难学是从古到今、国内外普遍的问题。）（）（86）

帕斯卡14岁时就开始经常参加法国数学家们的每周聚会。16岁是写了一遍关于圆锥曲线的论文，竟让笛卡儿怀疑是其父亲的作品。（论文质量之高）。十七八岁时为了帮助其父亲查账方便而设计计算机，他曾经制造了50多种计算机，有些至今还保存在巴黎艺术和技术博物馆。另外他在物理学方面提出的流体动力学原理，为每一个学过中学物理的人所熟知。（）（86）

他是在16岁的时候开始研究投影和取景法。在德萨格的建议下，他把圆锥曲线的性质简化为几个基本命题，并于1640 年完成了著作《圆锥曲线论》。在这部著作中最重要的成就可能就是所谓“帕斯卡定理”。帕斯卡从这一定理出发，推出了400多个与圆锥曲线有关的结论。（）（87）

将三角学从天文学奴仆的地位解放出来的是15世纪的德国数学家穆勒。穆勒在协助老师翻译希腊数学著作的过程中，对数学产生了浓厚的兴趣，自己也独立翻译了阿波罗尼斯、海伦和阿基米德等人的著作，并由此走上了数学研究的道路。穆勒在许多数学领域中都有建树，其中对三角学的贡献最为杰出。在1461—1464年间，他完成了《三角全书》，这部著作共5卷，将平面三角与球面三角放在一起处理，给出了球面三角的余弦定理和正弦定理，对于如何解平面与球面三角形做出了较全面的论述。他还编制了一个五位数的正切函数表。我们知道，过去希腊人仅把三角学看作是天文学的一个分支，通过穆勒的工作使三角学脱离了天文学而成一个独立的数学分支。此外，穆勒还使用代数的方法研究过许多几何问题，为150年后笛卡儿的研究开拓了方向。（问题在下页）（87）

（将三角学从天文学奴仆的地位解放出来的是15世纪的德国数学家谁？穆勒在做什么的过程中，对数学产生了浓厚的兴趣？穆勒独立翻译了谁的著作，并由此走上了数学研究的道路？穆勒在许多数学领域中都有建树，其中对什么的贡献最为杰出？在1461—1464年间，穆勒完成了《三角全书》，这部著作共5卷，将什么放在一起处理？给出了什么三角的余弦定理和正弦定理？穆勒对于如何解平面与球面三角形做出了较全面的论述？希腊人把三角学看作是天文学的一个分支？穆勒使用代数的方法研究过许多几何问题，为150年后谁的研究开拓了方向？）（87）

5.2.2三、四次方程的解法

与德国数学家相比，意大利人对代数似乎有更浓厚的兴趣，这与意大利早期数学家工作的着眼点有关。（意大利人对代数的兴趣是与意大利早期数学家工作的着眼点有关？）（87）

1494年，意大利修道士帕西奥里的《算术、几何及比例性质摘要》一书出版。全书共两篇，上篇专门讨论算术和代数，下篇研究几何，书中包罗了当时欧洲的各种数学知识。帕西奥里还追随穆勒用代数方法研究几何。由于帕西奥里曾任米兰大学数学教授，并先后在罗马、波伦那、那不勒斯、佛罗伦萨和威尼斯等地讲授过数学，故具有较大的影响，因此他的上述著作也在许多年中一直被认为是数学方面的标准论著。（ 1494年，意大利修道士帕西奥里的《算术、几何及比例性质摘要》一书出版，并在许多年中一直被认为是数学方面的标准论著？）（87）