《概率论与数理统计》电子教案第一章随机事件与概率

概率论与数理统计教案

开发了一套雇员表现等级的评估办法。这样，可以把应当被安排在重点岗位上的人确定出来，并在需要时进行重大调整。确定重点岗位人员的关键是体现雇员能力的指标，即可以负荷的工作量以及雇员所接受的正规工作训练。 工作量 低 中等 高

正规训练

无 0.01 0.05 0.10

很少 0.02 0.06 0.15

一定程度 0.02 0.07 0.16

全面 0.04 0.10 0.22

由负荷的工作量以及所接受的正规工作训练把所有雇员分成12个类。雇员被安排在重要岗位上的概率如表所示。下面定义3个事件 A：一个雇员负荷的工作量是属于高的；

B：一个雇员具有最高的(全面)正规训练水平；

C：一个雇员很少或没有正规训练并且工作量为中低档。 a求P(A)、P(B)，和P(C)。

b．求P(A/ B)，P(B/A)和P(B/ C)。

c 求P(A U B)．P(A U C)和P(BC) （2）概率的乘法定理（25分钟）

条件概率和概率的乘积定理的关系和在实际应用中的意义，由条件概率的定义说明实际应用中乘积概率的重要性及计算方法，进而推广到多个事件积的概率；

(i)条件概率和概率的乘积定理的关系：

定理：（概率乘法公式）由条件概率的定义得

p(AB)?p(A)?p(B|A) (p(A)?0)

或 p(AB)?p(B)?p(A|B) (p(B)?0). (ii)多个事件积的概率：

p(A1A2?An)?p(?Ai)?p(A1)?p(A2|A1)?p(A3|A1A2)?p(An|A1A2?An?1)

i?1n(iii)乘积概率的计算方法：

例4：计算机房有10台机器，其中一台是坏的. 现有4名学生同时上机，他们依次随机地选择一台计算机，求4名学生都选到好机器的概率.

解：令Ai={第i个学生选到好机器}，i?1,2,3,4.

9876，p(A2|A1)?，p(A3|A1A2)?，P(A4|A1A2A3)?

87109由概率的乘法公式得 则： p(A1)? 12

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p(A1A2A3A4)?p(A1)?p(A2|A1)?p(A3|A1A2)?p(A4|A1A2A3)98763???? 109875例5：设袋中有5个红球、3个黑球、2个白球，（1）不放回摸取三次，每次一球；

（2）有放回地摸取三次，每次一球；求第三次才摸到白球的概率.

解：第三次才摸到白球，意味着第一次、第二次摸到的是红球或黑球. 设A={第一次没有摸到白球}，B={第二次没有摸到白球}，C={第三次摸到白球}，则ABC={第三次才摸到白球}. ? （1）无放回摸取时，p(A)?872，p(BA)?，p(C|AB)? 10988727. ???109845因而 p(ABC)?p(A)?p(B|A)?p(C|AB)? （2）有放回摸取时，p(A)?882，p(BA)?，p(CAB)? 10101088216. ???101010125因而 p(ABC)?p(A)?p(BA)?p(CAB)?（3）全概率公式（35分钟）

由例子（例6）引进全概率公式，画图说明全概率公式的含义，给出定理的公式及证明，重点讲清全概率公式应用的条件，举例7； (i)举例说明全概率公式：

例6：在前面甲、乙二人摸奖的的试验中，若甲先摸，而乙并不知道甲摸得的结果，求乙摸到奖的概率？

解：我们来分析一下，乙摸到奖可以分为两种情况，即在甲摸到奖时乙也摸到奖或甲没有摸到奖时乙摸到奖，并且这两种情况是互不相容的（甲要么摸到奖，要么摸不到）. 设A?{甲摸到奖}，A={甲摸不到奖}，B={乙摸到奖}，则：

在A发生时B也发生的概率为 p(AB)?p(A)p(BA)?在A不发生时B发生的概率为 p(AB)?p(A)p(BA)?因此： p(B)?p(AB)?p(AB)?(ii)全概率公式的定义及证明：

211 ??10945828 ??109451。 5 13

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A2，?，An是两两互不相容的事件，p(Ai)?0定理：（全概率公式）设A1，2，（i?1，

，且?Ai??，则对于任意事件B，有 ?,n）

i?1n p(B)??p(Ai)p(B|Ai)

i?1n证明： 因为B?B??B(A1?A2???An)?BA1?BA2???BAn，且 (BAi)(BAj)?B(AiAj)??(i?j)

故： p(B)?p(BA1)?p(BA2)???p(BAn)

?p(A1)p(B|A1)?p(A2)p(B|A2)???p(An)p(B|An)??p(Ai)p(B|Ai)i?1n

(iii)全概率公式应用的条件：

要求有限个事件A1,A2,?,An两两互斥，p(Ai)?0，i?1,2,?,n，且B?(A1?A2???An)。

(iv)全概率公式的计算：

例7：设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%. 现从中任取一件，求取到的恰好是次品的概率.

解：设B={任取一件，恰好是次品}，A1={取到甲厂生产的}，A2={取到乙厂生产的}，A3={取到丙厂生产的}，则

p(A1)?0.45， p(A2)?0.35， p(A3)?0.2

且 p(B|A1)?0.04，p(B|A2)?0.02，p(B|A3)?0.05，由全概率公式得：

p(B)??p(Ai)p(B|Ai)?0.45?0.04?0.35?0.02?0.20?0.05?0.035

i?13补充例题：

12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概

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率.

解: 设Ai为第i次比赛取到了i个新球, (i=0,1,2,3), Ai构成完备事件组. 设B为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有

C331P(A0)?3?,C12220P(A2)?1121C92C327C9C3C82C42728P(B|A0)?3?,P(A1)?3?,P(B|A1)?3?,5522055C12C12C12121321C92C327C7C521C921C6C69

?,P(B|A)??,P(A)??,P(B|A)??2333333C1255C1244C1255C1222根据全概率公式有

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?i?0312727282721219????????0.455 220552205555445522(5)书中配套练习 第四讲：独立性

教学内容：事件的独立性及应用、贝努利概型。 教学目的：

（1）深刻理解两个事件的独立性的概念和性质； （2）理解多个事件相互独立的定义，了解多个事件相互独立和事件之间两两相互独立的关系；

（3）掌握事件独立性在概率计算中的应用； （4）理解贝努利概型的条件，理解公式； （5）掌握贝努概型概率的计算。 教学的过程和要求： （1）两个事件的独立性（20分钟）:由条件概率引出两个事件的独立性（或其它实际例子）给出定义，证明两事件独立的推论定理5，书中例题9。 (i)举例说明两个事件的独立性：

某人掷一颗骰子两次，第一次骰子出现的点数A并不会影响第二次骰子出现的点数B；此时有p(B)?p(BA)，当p(B)?0时，

p(AB)?p(A)p(B) (ii)事件独立性定义及独立的充要条件：

定义：对任意两个事件A与B，若p(AB)?p(A)p(B)，则称事件A

?与B相互独立.

定理：事件A与B独立的充要条件是

p(B|A)?p(B)，p(A)?0

或 p(A|B)?p(A)，p(B)?0

(iii)事件独立性计算：

例9：甲、乙两人单独地解答同一道习题，甲能答对的概率是0.8，乙能答对的概率是0.9. 试求：（1）两个都答对的概率；（2）至少有一个人答对的

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