第二章 导数与微分

?x面积改变的近似值是多少?当边长由x0变化到x0??x，面积相应的改y变量为?y?(x??x)2?x2x000?2x0?x?(?x)2?y如图中蓝色部分区域即表示?xx0可以把?y分成两部分第一部分2x0??x是?x的线性函数(图中天蓝部分)，2第二部分??x?(图中纯蓝部分)，当?x?0时，是比?x较高阶的无穷小量，因此当?x很小时，我们用2x0?x近似地表示?y,即?y?2x0?x微积分部分第二章导数与微分上述结论对于一般的函数是否成立呢?下面说明对于可导函数都有此结论．设函数y?f(x)在x0点处可导，则有?yf?(x0)?lim?x?0?x根据函数极限与无穷小量的关系得?y?f?(x0)???x(lim??0)?x?0于是?y?f?(x0)?x???x当f?(x0)?0时，函数的改变量?y表示成两部分之和，一部分关于?x的线性函数f?(x0)??x，通常把它叫做?y的线性主部；另一部分当?x?0时，是比?x较高阶的无穷小量，所以当?x很小时，有?y?f?(x0)?x微积分部分第二章导数与微分一般地有定义2.5 设函数y?f(x)在x点处可导，称f?(x)?x为函数y?f(x)在x点处的微分，记作dy或df(x)，即dy?f?(x)??x此时,我们也说函数y?f(x)在x点处可微.特别当x?x0时,称f?(x0)?x为函数y?f(x)在x0点的微分,记作dyx?x0或df(x)x?x0即dy注1: 规定自变量的微分就等于其改变量,即dx??x.于是有dy?f?(x)dx即函数y?f(x)微积分部分第二章导数与微分x?x0?f?(x0)?x在点x处的微分等于该函数在该点的导数与自变量微分的乘积.注2: 对dy?f?(x)dx两边同时除以dx后得dy到?f?(x),它反映了函数的微分与其导数之间dx的关系,可见函数的导数即是函数的微分与自变量微分的商,因此常常把导数也称为微商.注3: 从定义易见可微与可导的关系是可微必可导,可导也必可微.例1 求下列函数的微分(1)y?sinx2(2)y?x?xy?y2322解(1)因为y??2xsinx第二章微积分部分导数与微分