湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试（一模）数学（理）试题（含答案）

长郡中学2019届第一次适应性考试

数学(理科)试题

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分满分.150分，时量120分钟.

第I卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设a?R,i为虚数单位.若复数z?a?2??a?1?i是纯虚数，则复数坐标为 A. ?,??

a?3i在复面上对应的点的2?i?1?58?5?

B. ???74?,?? ?55?C. ???47?,? ?55?2D. ?2?74?,?? ?55?2.已知集合A?xy?log2x?3x?4,B?xx?3mx?2m?0?m?0?，

2??????若B?A，则实数m的取值范围为

A. ?4，???

B. ?4，???

C. ?2，???

D. ?2，???

3.美国总统伽菲尔德利用右图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知a?3,b?4，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE的内切圆内部的概率为

A.

503?22?49253?22?49?? B.

4? 492? 49C.

?? D.

4. 已知sin???2???31,cos??,?,?为锐角，则sin?????的值为 433?214 12C. A. 37?22

12B. 37?22

12D. 3?214 125.执行如图所示的程序框图，若输入x?0,y?0,n?1，则输出的x,y的值满足

A. xy?2

B. y?x?1 9

C. xy?16 9D. y?x?10 92?6.已知命题p：数列?an?的通项公式为an?an?bn?c(a,b,c为实数，n?N)，且

命题q：数列?bn?的通项公式为bn?aqn?1?q?1,n?N??a2017?k,a2018?k,a2019?k?k?0?恒为等差数列；

时，数列?bn?为递增数列.若p?q为真，则实数a的取值范围为 A. ???,0?

B. ?0,???

C. ?0,???

D. ???,0?

?4??x?2,x?27.已知函数f?x???，则定积分1f?x?dx的值为 2?2??1??x?3?,2?x?49?4?1?4?1??3?2?A. B. C. D.

84248.函数f?x??tan??x????0???????,??0?某相邻两支图象与坐标轴分别变于点2???????2???A?,0?,B?,0?，则方程f?x??cos?2x??,x??0,??所有解的和为

3??6??3??A.

5? 6 B.

? 2 C.

5? 12 D.

? 49.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M，N上取三点A，B，P，其中P为侧面M的对角线上一点(与对角线端点小重合)，A，B为侧面N的一条对角线的两个端点.若以线段AB为直径的圆过点P，则m的最小值为

A. 43

B. 23

C.4

D.2

x2y22210.已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，抛物线y?x与双曲

ab5uuuur29uuuurF1M，则双曲线的方线C交于纵坐标为1的点M，直线F1M与抛物线的准线交于N，若F1N?55

程为

x2y2??1 A.

45x2y2??1 B.

169x2y2??1 C. 54x2y2??1 D.

91611.小明站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨如图所示.设小明从点A开始随动点P变化的视角为???AOP，练车时间为t，则函数??f?t?的图象大致为

12.定义min?a,b????a,a?b，已知?,?为函数f?x??x2?px?q的两个零点，若存在整数n?b,a?b满足n?????n?1，则minf?n?,f?n?1?的值 A.一定大于

??1 2 B.一定小于

1 4 C.一定等于第Ⅱ卷

1 4 D.一定小于

1 4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

uuuruuuruuur13.在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD的中点，记BE?a,AC?b,用a,b表示AB，

uuur则AB=_________.

14.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外云观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部

?x2?y2?4?2?或x2??y?1??1来表示，设分的区域可用小等式组?x?0?22x?y?1?1????

?x,y?是阴影中任意一点，则z?2x?y的最大值为___________.

15.已知eC1:?x?2???y?2??r1?r1?0?,eC2:?x?1???y?1??r2?r2?0?,

222222eC1与eC2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为_________.

216.在各项均为正数的等比数列?an?中，a3?a1?8,当a4取最小值时，则数列nan的前n项和为

??_________.

三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。) (一)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且2a?3c. (I)若tanB?2tanC，求B；

tanA?33，求△ABC的周长. (II)若△ABC的面积为33，

18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA?AD，底面四边形ABCD为直角梯形，

AD??BC,AD//BC,?BCD?90o，M为线段PB上一点

(I)若??1，则在线段PB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD?若存3在，

请确定M点的位置；若不存在，请说明理由

(II)己知PA?2,AD?1，若异面直线PA与CD成90°角，二而角

B-PC-D的余弦值为?

10，求CD的长. 1019.(本小题满分12分)随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整。调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额。依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：