中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题及答案

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】 【分析】

5 2（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG； （2）作辅助线，证明△BEF≌△GEC（SAS），可得结论；

（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM＝DN＝

1AC，计算可得结论． 2【详解】

证明：（1）如图1，过E作EH⊥CF于H，

∵AD⊥BC， ∴EH∥AD，

∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G， ∵CE＝EF， ∴∠CEH＝∠HEF， ∴∠CAD＝∠G， ∴AE＝EG；

（2）如图2，连接GC，

∵AC＝BC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，

∴AG是BC的垂直平分线， ∴GC＝GB， ∴∠GBF＝∠BCG， ∵BG＝BF， ∴GC＝BE， ∵CE＝EF，

∴∠CEF＝180°﹣2∠F， ∵BG＝BF，

∴∠GBF＝180°﹣2∠F， ∴∠GBF＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠BCG，

∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE， ∴∠GCE＝∠F， 在△BEF和△GCE中，

?CE?EF???GCE??F， ?CG?BF?∴△BEF≌△GEC（SAS）， ∴BE＝EG；

（3）如图3，连接DM，取AC的中点N，连接DN，

由（1）得AE＝EG， ∴∠GAE＝∠AGE，

在Rt△ACD中，N为AC的中点，

1AC＝AN，∠DAN＝∠ADN， 2∴∠ADN＝∠AGE， ∴DN∥GF，

在Rt△GDF中，M是FG的中点，

∴DN＝

1FG＝GM，∠GDM＝∠AGE， 2∴∠GDM＝∠DAN， ∴DM∥AE，

∴四边形DMEN是平行四边形，

∴DM＝

1AC， 2∵AC＝AB＝5，

∴EM＝DN＝

5． 2【点睛】

∴EM＝

本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．

8．如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG．

（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形． （2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；

（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，请直接写出α的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°． 【解析】 【分析】

（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=CD∥GE，CD=

1GE，根据三角形的中位线的性质得到21GE，求得CD=GE，即可得到结论； 2（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，

∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；

（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】

（1）证明：∵四边形OEFG是正方形， ∴ME=

1GE， 21GE， 2∵OG=2OD、OE=2OC， ∴CD∥GE，CD=∴CD=GE，

∴四边形CDME是平行四边形；

（2）证明：如图2，延长E′D交AG′于H，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90°， ∵四边形OEFG是正方形， ∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，

∵将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′， ∴∠G′OD=∠E′OC， ∴∠AOG′=∠COE′， 在△AG′O与△ODE′中，

?OA＝OD???AOG?＝?DOE?， ?OG?＝OE??∴△AG′O≌△ODE′

∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O， ∵∠1=∠2，