2017届高考全真模拟预测考试（第1次考试） - 全国卷文科数学试题

【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,基本不等式及三角形的面积公式等,考查了考生的计算能力,属于中档题.(1)利用正弦定理与余弦定理即可得出;(2)先利用余弦定理、基本不等式求出bc的最大值,再利用三角形的面积计算公式即可得出.

【备注】解三角形的常见类型和方法:(1)已知两角和一边,首先根据内角和求出第三角,再用正弦定理、余弦定理求解相关问题;(2)已知两边和夹角,先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理求另两角,必有一解;(3)已知三边可先应用余弦定理求对应的三个角,再求解相关问题.

18．某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万

元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;

(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;

(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.

【答案】(1)由题意知,样本数据的平均数=12.

(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为,由此估计这90个服务网点中有90×=30个优秀服务网点. (3)由于样本中优秀服务网点有2个,分别记为a1,a2,非优秀服务网点有4个,分别记为b1,b2,b3,b4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况

有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15种,

记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M,则事件M包含的可能情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8种, 故所求概率P(M)=.

【解析】本题主要考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识.(1)先根据茎叶图读出数据,再利用公式求解即可;(2)利用样本估计总体的知识即可得出;(3)先利用列举法将满足条件的情况逐一列出来,再利用古典概型的概率计算公式解答.

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【备注】概率与统计解答题是近几年新课标高考的热点考题,利用茎叶图解答实际问题是当今命题的热点与亮点.这类题往往借助于熟悉的知识点,结合实际生活中比较新颖的问题进行命题,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,往往对分层抽样、系统抽样比较偏重,考生只有正确处理茎叶图,读准数据,掌握古典概型的概率的计算,考试时才不会失分.

19．在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,四边形ADEF是正方形,AB∥

DC,AB=AD=1,CD=2,AC=EC=.

(1)求证:平面EBC⊥平面EBD;

(2)设M为线段EC上一点,且3EM=EC,试问在线段BC上是否存在一点T,使得MT∥平面BDE,若存在,试指出点T的位置;若不存在,请说明理由.

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【答案】(1)因为AD=1,CD=2,AC=,所以AD+CD=AC,

所以△ADC为直角三角形,且AD⊥DC.

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同理,因为ED=1,CD=2,EC=,所以ED+CD=EC,

所以△EDC为直角三角形,且ED⊥DC. 又四边形ADEF是正方形,所以AD⊥DE, 又AD∩DC=D, 所以ED⊥平面ABCD.

又BC?平面ABCD,所以ED⊥BC.

在梯形ABCD中,过点B作BH⊥CD于点H, ,BD=. 故四边形ABHD是正方形,所以∠ADB=45°在Rt△BCH中,BH=CH=1,所以BC=,

222

故BD+BC=DC,所以BC⊥BD.

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因为BD∩ED=D,BD?平面EBD,ED?平面EBD, 所以BC⊥平面EBD,

又BC?平面EBC,所以平面EBC⊥平面EBD.

(2)在线段BC上存在一点T,使得MT∥平面BDE,此时3BT=BC. 连接MT,在△EBC中,因为,所以MT∥EB.

又MT?平面BDE,EB?平面BDE,所以MT∥平面BDE.

【解析】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系等,考查考生的推理论证能力、空间想象能力及运算求解能力.(1)先利用勾股定理证明△ADC、△EDC是直角三角形,最后证明平面EBC⊥平面EBD;(2)是探究性问题,先利用分析法找到点T,再进行证明.

【备注】与平行、垂直有关的探究性问题是高考常考题型之一,解答的基本思路是先根据条件猜测点的位置,再给出证明.在探究点的存在性问题时,点多为中点、三等分点等特殊点,有时也需结合平面几何知识找点.

20．设F1、F2分别是椭圆E:+=1(b>0)的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,且·的最大值

为1.

(1)求椭圆E的方程;

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(2)设直线l:x=ky-1与椭圆E交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(O为坐标原点),求k的取值范围.

2

【答案】(1)解法一 易知a=2,c=,b<4,

所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则

·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-4+b2=x2+b2--4+b2=(1-)x2+2b2-4.

2,即点P为椭圆长轴端点时,·4+2b2-4,解得b2=1. 因为x∈[-2,2],故当x=±有最大值1,即1=(1-)×

2

故所求椭圆E的方程为+y=1. 2

解法二 由题意知a=2,c=,b<4,

所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则

·=||·||·cos∠F1PF2=||·||·[+y2++y2-16+4b2]=(1-)x2+2b2-4.

2,即点P为椭圆长轴端点时,·4+2b2-4,解得b2=1. 因为x∈[-2,2],故当x=±有最大值1,即1=(1-)×

2

故所求椭圆E的方程为+y=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+4)y2-2ky-3=0,Δ=(-2k)2+12(4+k2)=16k2+48>0, y2=. 故y1+y2=,y1·

=x1x2+y1y2>0, 又∠AOB为锐角,故·

2

又x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=ky1y2-k(y1+y2)+1,

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-+1=>0, 所以x1x2+y1y2=(1+k)y1y2-k(y1+y2)+1=(1+k)·2

所以k<,解得-

【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.(1)先设P(x,y),表示出F1、F2的坐标,然后求出、,得到·关于x的表达式,利用·的最大

2

值求得b的值,进而可求出椭圆的方程;(2)将x=ky-1与椭圆方程联立消去x,利用根与系数的关系表示出y1+y2和y1y2,由∠AOB为锐角可得x1x2+y1y2>0,将x1=ky1-1,x2=ky2-1代入求得x1x2+y1y2关于k的表达式,解不等式求出k的取值范围.

【备注】每年高考试题都有一道解析几何的解答题,此题难度中等偏上,综合考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题和直线与圆锥曲线的位置关系等知识.由于解析几何解答题的综合性较强,对考生的能力要求较高,所以解答这类问题时,要注意观察问题的个性特征,熟练运用圆锥曲线的几何性质,以减少解题过程中的运算量.

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