新版高考数学真题分类汇编：专题(14)推与证明、新定义（理科）及答案

cosf?x??1在??,2??上有解”，并证明对任意x??0,??都有f?x????f?x??f???.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析

c都是一个函数值，（2）由于f?x?的值域为R，所以对任意c??即有x0?R，?f?a?,f?b???，

使得f?x0??c.

若x0?a，则由f?x?单调递增得到c?f?x0??f?a?，与c???f?a?,f?b???矛盾，所以

x0?a.同理可证x0?b.故存在x0??a,b?使得f?x0??c.

（3）若u0为cosf?x??1在?0,??上的解，则cosf?u0??1，且u0?????,2??，

cosf?u0????cosf?u0??1，即u0??为方程cosf?x??1在??,2??上的解.

同理，若u0??为方程cosf?x??1在??,2??上的解，则u0为该方程在?0,??上的解. 以下证明最后一部分结论.

由（2）所证知存在0?x0?x1?x2?x3?x4??，使得f?xi??i?，i?0，1，2，3，4. 而?xi,xi?1?是函数cosf?x?的单调区间，i?0，1，2，3.

与之前类似地可以证明：u0是cosf?x???1在?0,??上的解当且仅当u0??是

cosf?x???1在??,2??上的解.从而cosf?x???1在?0,??与??,2??上的解的个数相同.

故f?xi????f?xi??4?，i?0，1，2，3，4. 对于x??0,x1?，f?x???0,??，f?x?????4?,5??，

而cosf?x????cosf?x?，故f?x????f?x??4??f?x??f???. 类似地，当x??xi,xi?1?，i?1，2，3时，有f?x????f?x??f???. 结论成立.

【考点定位】新定义问题

【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.