第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案

??( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k???? ③三向量的混合积

混合积：先作两向量a和b的向量积a?b,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积

(a?b)?c，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c的混合积，记作[abc]

ax[abc]= (a?b)?c= bxaybycyazbz cz cx混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c 为棱的平

行六面体的体积，如果向量a、b、c组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a、b、c组成左手系，那么混合积的符号是负的。

三个向量a、b、c共面的充分必要条件事他们的混合积[abc]=0即

ax bx cx

aybycyazbz=0 cz3、曲面及其方程

①曲面方程的概念

如果曲面S与三元方程 F(x? y? z)?0 有下述关系????

(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x? y? z)?0? ? (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x? y? z)?0?

那么? 方程F(x? y? z)?0就叫做曲面S的方程? 而曲面S就叫做方程F(x? y? z)?0的图形? ? 例如：方程 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?表示球心在点M0(x0? y0? z0)、半径为R的球面 ②旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面? 这条定直线叫做旋转曲面的轴? ?

设在yO z 坐标面上有一已知曲线C? 它的方程为

f (y? z) ?0?

把这曲线绕z轴旋转一周? 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面? 它的方程为

f(?x2?y2, z)?0?

这就是所求旋转曲面的方程? ?

在曲线C的方程f(y? z)?0中将y改成?x2?y2? 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程f(?x2?y2, z)?0? ?

同理? 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为

f(y, ?x2?z2)?0? ?

③柱面

柱面??平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面? 定曲线C叫做柱面的

准线? 动直线L叫做柱面的母线? ??

例如方程x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示圆柱面? 它的母线平行于z轴? 它的准线是xOy 面上的圆x2?y2?R2? ? 一般地? 只含x、y而缺z的方程F(x? y)?0? 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面? 其准线是xOy 面上的曲线C?? F(x? y)?0? ?

类似地? 只含x、z而缺y的方程G(x? z)?0和只含y、z而缺x的方程H(y? z)?0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面? ④二次曲面

三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面? 把平面叫做一次曲面? (1)椭圆锥面

2y2 由方程x2?2?z2所表示的曲面称为椭圆锥面?

ab(2)椭球面

2y2z2x 由方程2?2?2?1所表示的曲面称为椭球面? abc(3)单叶双曲面

2y22 由方程x2?2?z2?1所表示的曲面称为单叶双曲面?

abc(4)双叶双曲面

2y2z2x 由方程2?2?2?1所表示的曲面称为双叶双曲面? abc(5)椭圆抛物面

2y2x由方程2?2?z所表示的曲面称为椭圆抛物面? ab(6)双曲抛物面?

2y2x 由方程2?2?z所表示的曲面称为双曲抛物面? 双曲抛物面又称马鞍面? ab

22y2y2方程 x2?2?1? x2?2?1? x2?ay?

abab依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面?

4 空间曲线及其方程

①空间曲线的一般方程

设 F(x? y? z)?0和G(x? y? z)?0是两个曲面方程? 它们的交线为C 所以C应满足方程组

?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0 ?上述方程组叫做空间曲线C的一般方程? ②空间曲线的参数方程

?x?x(t)?空间曲线C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数??? ?y?y(t)?……..(2)

??z?z(t)当给定t?t1时? 就得到C上的一个点(x1? y1? z1)? 随着t的变动便得曲线C上的全部点? 方程

组(2)叫做空间曲线的参数方程? ③空间曲线在坐标面上的投影

以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面? 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线? 或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)?

?F(x,y,z)?0 设空间曲线C的一般方程为??

?G(x,y,z)?0 设方程组消去变量z后所得的方程

H(x? y)?0 ? 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面? 曲线C在xOy 面上的投影曲线的方程为???

?H(x,y)?0 ?z?0?5 平面及其方程

①平面的点法式方程

法线向量? 如果一非零向量垂直于一平面? 这向量就叫做该平面的法线向量? 已知平面?上的一点M0(x0? y0? z0)及它的一个法线向量n ?(A? B? C)， 平面的点法式方程?为：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z??z0)?0 ②平面的一般方程 平面的一般方程为：Ax?By?Cz?D?0， 其中x? y? z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标? 即 n?(A? B? C)? 特殊位置的平面方程： D?0? 平面过原点?

n?(0? B? C)? 法线向量垂直于x轴? 平面平行于x轴? n?(A? 0? C)? 法线向量垂直于y轴? 平面平行于y轴??n?(A? B? 0)? 法线向量垂直于z轴? 平面平行于z轴??

n?(0? 0? C)? 法线向量垂直于x轴和y轴? 平面平行于xOy平面??n?(A? 0? 0)? 法线向量垂直于y轴和z轴? 平面平行于yOz平面??n?(0? B? 0)? 法线向量垂直于x轴和z轴? 平面平行于zOx平面??求这平面的方程

y③平面的截距式方程为： x??z?1?(其中a?0? b?0? c?0)?该平面与x、y、z轴的交点依次

abc为P(a? 0? 0)、Q(0? b? 0)、R(0? 0? c)三点? 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距?

x-x1④平面的三点式方程为： x2?x1y-y1y2?y1y3?y1z-z1z2?z1=0其中M(x1,y1,z1)，N(x2,y2,z2) z3?z1 x3?x1P(x3,y3,z3)是平面上的三点。

⑤两平面的夹角

两平面的夹角??两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角?

设平面?1和?2的法线向量分别为n1?(A1? B1? C1)和n2?(A2? B2? C2)? 那么平面?1和?2的夹角? 应是(n1, n2)和(?n1, n2)???(n1, n2)两者中的锐角? cos??|cos(n1, n2)|?^^^^|A1A2?B1B2?C1C2|222A12?B12?C12?A2?B2?C2

平面?1和?2垂直相当于A1 A2 ?B1B2 ?C1C2?0? 也即n1垂直于n2 平面? 1和? 2平行或重合相当于

A1B1C1???也即n1平行于n2 A2B2C2

设P0(x0? y0? z0)是平面Ax?By?Cz?D?0外一点? P0到这平面的距离公式为?

d?

|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222

6 空间直线及其方程 ①空间直线的一般方程

空间直线L可以看作是两个平面?1和?2的交线??

如果两个相交平面?1和?2的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0? 那么直线L满足方程组

?A1x?B1y?C1z?D1?0?Ax?By?Cz?D?0? (1)

222?2上述方程组叫做空间直线的一般方程?

②空间直线的对称式方程与参数方程?

方向向量???如果一个非零向量平行于一条已知直线? 这个向量就叫做这条直线的方向向量? 容易知道? 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量?

已知直线L通过点M0(x0? y0? x0)? 且直线的方向向量为s???(m? n? p)? 则直线L的方程为：x?x0y?y0z?z0? 叫做直线的对称式方程或点向式方程? ??mnp 注? 当m? n? p中有一个为零? 例如m?0? 而n? p?0时? 这方程组应理解为

?x?x0? ?y?y0z?z0?

??p?n当m? n? p中有两个为零? 例如m?n?0? 而p?0时? 这方程组应理解为

?x?x0?0 ??

y?y?00? ? 设

x?x0y?y0z?z0???t? 得方程组 mnp