数学分析教案第十九章 含参量积分

《数学分析》教案

代入

式, 有 ,

解得 .

由对称性, 又有

4.

函数的其他形式:

.

ⅰ> 令

, 有

,

因此得 , .

ⅱ> 令

, 可得

,

.

特别地 ,

,

.

ⅲ> 令

, 有

=

=

,

即 ,

- 13 -

《数学分析》教案

ⅳ> 令

, 可得

.

ⅴ> , .

三.

函数和

函数的关系:

函数和

函数之间有关系式

,

以下只就 用到

和

取正整数值的情况给予证明.

和

取正实数值时, 证明

函数的变形和二重无穷积分的换序.

证 反复应用

函数的递推公式, 有

,

而

.

特别地, 就有

.

且 或 时, 由于

,

余元公式——

函数与三角函数的关系： 对

- 14 -

，有

《数学分析》教案

.

该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц , 微积分学教程 Vol 2 第3分册, 利用余元公式, 只要编制出

, 查表求得

时 的近似值.

的函数表, 再利用三角函数表, 即可对

四. 利用Euler积分计算积分:

例3 利用余元公式计算

.

解 ,

.

例4 求积分

.

解 令

, 有

I

.

例5 计算积分 .

- 15 -

《数学分析》教案

解

敛 ,把该积分化为

, 该积分收敛 . ( 亦可不进行判

函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛 . )

I

.

例6 , 求积分

,

其中 V : .

解

.

而

.

- 16 -