数学分析教案第十九章 含参量积分

《数学分析》教案

函数表: 很多繁杂的积分计算问题可化为

角函数表、对数表等函数表, 制订了 可见, 有了 常把 表 也有在 5.

函数在

内

函数来处理. 人们仿三

函数的递推公式

的值. 通

函数

函数表供查. 由

, 求得 内的值, 即可对

函数的某些近似值制成表, 称这样的表为 内编制的

函数表.)

函数的延拓:

时,

有意义 . 用其作为

内.

, 又可把 依此 , 可把 延拓到

时

该式右端在

的定义, 即把 延拓到了

时也

时, 依式

, 利用延拓后的 内 .

延拓到 内除去

的所有

点. 经过如此延拓后的 例1 求

.)

的图象如 P192图表19—2.

, ,

. ( 查表得

解

.

),

.

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6.

函数的其他形式和一个特殊值:

某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为 函数表求得该积分的值.

函数 . 倘能如此, 可查

常见变形有:

ⅰ> 令 因此,

, 有 =

.

,

,

ⅱ> 令

.

注意到 P7的结果

, 得 的一个特殊值

.

ⅲ> 令 得

, 得

. 取

,

.

例2 计算积分 , 其中 .

解 I

.

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《数学分析》教案

二. Beta函数

——Euler第一型积分：

1． Beta函数及其连续性：

称( 含有两个参数的 )含参积分

一型积分. 当

和

为Euler第

中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对

时点

和

均为瑕点. 故把

, 该积分收敛. 由于

积分

分成

和

时为正常积分;

考虑.

:

负,

时, 点

为瑕点. 由被积函数非

和 ,

( 由Cauchy判法) 积分

收敛 . ( 易见

时积分

发散 ).

数非负,

: 时为正常积分;

时, 点

为瑕点. 由被积函

和 ,

( 由Cauchy判法) 积分

收敛 . ( 易见

时积分

发散 ).

综上, 时积分

,

收敛. 设D

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《数学分析》教案

于是, 积分

定义了D内的一个二元函数. 称该函数为Beta函数, 记为

, 即

=

不难验证, 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此 ,

函数是D内的二元连续函数.

2. 函数的对称性: .

证

=

.

由于

函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一

个变元自然也具有.

3. 递推公式: .

证

,

而

,

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