数学分析教案第十九章 含参量积分

《数学分析》教案

推论 在Th.7的条件下 , 对

, 有

2. 可微性: 积分号下求导定理.

Th 19.8 设函数

在

则函数

在

和 在 上收敛, 积分

上连续. 若积分

在 .

一致收敛.

上可微,且

3. 可积性: 积分换序定理.

Th 19.9 设函数

在

在

上一致收敛, 则函数

.

上连续. 若积分

在

上可积 , 且有

例3 计算积分

P186

四. 含参瑕积分简介:

§ 3 Euler积分

本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 和 . 它们

统称为Euler积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.

一. Gamma函数 —— Euler第二型积分：

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《数学分析》教案

1. Gamma函数: 考虑无穷限含参积分

,

当 时, 点 来讨论其敛散性 .

还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为

:

时为正常积分 .

时, .利用非负函数积的

时积分

Cauchy判别法, 注意到收敛 . (易见

收敛 .

时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散 ). 因此, 时积分

: 对 综上 ,

对

R成立,.因此积分

R收敛.

收敛 . 称该积分为Euler第二型积分. 内的一个函数, 称该函数为Gamma函数,

时积分

Euler第二型积分定义了 记为 , 即

=,

.

函数是一个很有用的特殊函数 .

2. 函数的连续性和可导性:

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《数学分析》教案

在区间

内非一致收敛 . 这是因为

时积分发散. 这里利

发散,

用了下面的结果: 若含参广义积分在 则积分在

但 内非一致收敛 .

内收敛, 但在点

在区间 内闭一致收敛 .即在任何 时, 对积分

, 有

上 , , 而积分

一致收敛 . 因为

收敛.

对积分

,

积分

, 而积分

在区间

收敛. 由M—判法, 它上一致收敛 .

们都一致收敛,

作类似地讨论, 可得积分于是可得如下结论:

也在区间

内闭一致收敛.

的连续性:

在区间 在区间

内连续 .

的可导性: 内可导, 且

在区间

.

同理可得: 内任意阶可导, 且

.

3. 凸性与极值:

,

在区间

内严格下凸.

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( 参下段 ),

在区间

内唯一的极限小值

点( 亦为最小值点 ) 介于1与2 之间 .

4. 的递推公式 函数表:

的递推公式 : .

证

.

.

于是, 利用递推公式得:

,

,

, …………, ,

一般地有 .

可见 , 在 见对

上, 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义

为

, 易

内实数的阶内的所有实

是很

,该定义是有意义的. 因此, 可视

乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了 数上, 于是, 自然就有合理的.

, 可见在初等数学中规定

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