2008学年浙江省绍兴一中第一次高考模拟数学（理）试卷

参考答案

一、选择题

1．D 2．A 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．A 二、填空题 11．18 12． 10 13． -1

14． C3、C1、C2 15.．16.

f(n)?n?2n?1

33

17．（1）不改变车票价格，减少支出费用； （2）不改变支出费用，提高车票价格

18.(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

P(??0)?CP(??2)?C03?(1?23223)?312723,P(??1)?C313?23?(1?332323)32?29827

,23?()?(1?)?49,P(??3)?C?()?.所以ε的分布列为 ε P

ε的数学期望为 Eε=0?127?1?29?2?2349?3?827?2.

0 1271 292 493 827 解法二：根据题设可知?～B(3,) 因此ε的分布列为

P(??k)?C3?(因为?～B(3,23k23)?(1?k23)2?k?Ck3?23k3,k?0,1,2,3.),所以E??3?23?2

（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

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P(C)?C103423?(23)?(1?223)?121211??211??????????332332??332?,23

?(23)?(2P(D)?C13?131034?12)?435,由互斥事件的概率公式得

P(AB)?P(C)?P(D)??435?3435?34243

解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3

.由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事

P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).

(23)?(342433132?12)?C232323?(12?132?12?C12?232)=?.．

19．?PO?平面ABCD,

?PO?BD.又PB?BD,BO?2,PO?由平面几何知识得OD?OC?1,BO?AO?22,

以O为原点，OA，OB，OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0）， P（0，0，2）.

（1）?PD?(0,?1,?2),BC?(?1,?2,0)， ?|PD|?3,|BC|?5,PD?BC?2.

?cos?PD,BC??PD?BC|PD||BC|?21515.

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故直线PD与BC所成的角的余弦值为

21515.

（2）设平面PAB的一个法向量为n?(x,y,z)，

由于AB?(?2,2,0),AP?(?2,0,2),

??x?y,?n?AB?0由? ,得???z?2x.?n?AP?0取n?(1,1,2),又易知平面?cos?m,n??m?n|m|?|n|?ABCD的一个法向量m?(0,0,1),

22.

又二面角P—AB—C不锐角.

∴所求二面角P—AB—C的大小为45°

（3）设M(x0,0,z0),由于P,M,C三点共线，

z0?2x0?2,

?PC?平面BMD,?OM?PC. （1）

（2）

?(?1,0,??x0?2)?(x0,0,z0)?0.2z0?0.由（1）（2）知

x0??23,z0?23.

?M?(????PMMC23,0,23).

?2.故??2时,PC?平面BMD.

命题立意：本题以四棱锥为载体，主要考查异面直线所成的角，二面角、线面关系等知识，

同时考查空间想象能力.

20．解：（1）当x?(0,2]时,?x?[?2,0)时,

则f(x)??f(?x)??(?tx?又f(0)?0

?f(x)?tx?123212x)?tx?312x

3

xx?[?2,2]3

??????5分

6t3,

（2）若f'(x)?t??x?[?2,0],?x??6t3x2?0,则x??

为极值点??????7分

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又x?[?2,?x?[?6t36t3]时,f'(x)?0,

,0]时,f'(x)?0

?f(x)为增函数?f(x)为一减函数,????8分

296tt.??????10分

当x??6t3时,fmin(x)?? （3）?f'(x)?t?32x2?0,?2?x?2,0?32x232x2?6,

?t?9时f'(x)?t??0??????12分

,即f(x)?[f(?2),f(2)],即f(x)?[1?2t,2t?4]

?f(x)在[?2,2]上单调递增?t?9,?4?2t??14,2t?4?14,????14分 ?14?[4?2t,2t?4]当t?9时,函数y?f(x)的图象上至有有一个点落在直线y=14上.????15分

21. （Ⅰ）由已知

?(x,y)?m(1,0)?(m?1)(0,?1)，??????2分

?x?m??, ?y?1?m?x?y?1,即点P的轨迹方程为x?y?1?0.??????5分

?以MN为直径的圆经过原点,

2ab222?OM?ON?0,即x1x2?y1y2?0,?x1x2?(1?x1)(1?x2)?0.得1??a?2(ab22?ab)?a222?0,即:b2?a2?2ab22?0.①???11分

?e?

3,

?e?b2?a2?ba222?3,

2?2a. ②

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∴由①、②解得a?经检验a??12,b?22.??????13分

12,b?22符合（*）式，

22双曲线C的方程为4x?2y?1.??????15分

只需证明:

1211n3?an?2n3 ( *) 下面使用数学归纳法证明:

1211n3?an?2n3(n≥1,n∈N*)

1

①在n=1时, a1=1,

2②假设n=k时,

12111k3?ak?2k 成立, 由 a32k?1?ak?21ak1?4k3?12112?4k3?21

k3k3

3要证明: 4k3?12112?4(k?1)3 只需2k＋1≤

1212k3(k?1)3 只需(2k＋1)≤8k(k＋1)

2

k3

12只需证: k?2?k3(k?1)3 , 只需证: 4k＋11k＋8>0, 而4k＋11k＋8>0在k≥1时恒成立. 于是: ak?1?222

142(k?1). 因此

31211(k?1)3?ak?1?2(k?1)3得证.

2综合①②可知( *)式得证, 从而原不等式成立.

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