2019数学新设计北师大选修2-3精练：第一章 计数原理 习题课1 Word版含答案

习题课——二项式定理的应用

A组

1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于( )

A.11 C.9

B.10 D.8

解析:∵只有第5项的二项式系数最大,

∴∴n=8.

答案:D

+1=5.

2.A.-20 C.5

的展开式中x2y3的系数是( )

B.-5 D.20

解析:由已知,得

Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),

令r=3,得T4=故选A. 答案:A

(-2)3x2y3=-20x2y3.

3.使A.4 C.6

(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为( ) B.5 D.7

解析:由二项式的通项公式得Tr+1=3n-r最小值为5. 答案:B

,若展开式中含有常数项,则n-r=0,即n=r,所以n

4.设函数f(x)=A.-20

B.20

则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )

C.-15

D.15

解析:当x>0时,f(x)=-<0,则

f[f(x)]=

此时T4=(-1)3=-20. 答案:A

.Tr+1=)6-r·=(-1)r=(-1)rx3-r.令3-r=0,得r=3,

5.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为 .

解析:根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项式定理展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9. 答案:9

6.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于 . 解析:在已知等式两边对x求导,得5(2x-3)4×2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×(2×1-3)4×2=10. 答案:10

7.在(3x-2y)20的展开式中,系数绝对值最大的项为 . 解析:设系数绝对值最大的项是第r+1项,则

所以

·312·28·x12·y8.

所以当r=8时,系数绝对值最大的项为T9=答案:T9=

·312·28·x12·y8

8.导学号43944020已知(+3x2)n的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 解令x=1,

则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n. 又展开式中二项式系数和为2n,

∴=2n=32,n=5.

(1)∵n=5,展开式共6项,

∴二项式系数最大的项为第三、四两项,

∴T3=)3(3x2)2=90x6,

T4=)2(3x2)3=270.

(2)设展开式中第k+1项的系数最大,

则由Tk+1=)5-k(3x2)k=3k,

得

∴∴k=4,

≤k≤,

即展开式中系数最大的项为T5=9.求证:3n>(n+2)·

(n∈N+,n>2).

)(3x2)4=405.

证明因为n∈N+,且n>2,

所以3n=(2+1)n展开后至少有4项. (2+1)n=2n+

·2n-1+…+

·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,

故3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,n>2). 10.求证:1+2+22+…+

(n∈N+)能被31整除.

证明∵1+2+22+…+

=

-1=32n-1

=(31+1)n-1 ==31(显然

·31n+·31n-1+·31n-1+

·31n-1+…+

·31n-2+…+·31n-2+…+

·31+

), 为整数,

-1

∴原式能被31整除.

B组

1.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是( )

A. B.

C. D.(1,+∞)

解析:二项式(x+y)9的展开式的通项是

Tr+1=

·x9-r·yr.

依题意,有

由此得

解之,得x>1,即x的取值范围为(1,+∞). 答案:D

2.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)2 0152 015除以8的余数为( ) A.1 C.5

B.3 D.7

2 0162 014(-1)1+…+

(-1)2 015,倒数两项和为2

解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+

015×2 016-1,其除以8的余数为7,因此2 0152 015除以8的余数是7. 答案:D

3.x8=a0+a1(x-1)+…+a8(x-1)8,则a7= . 解析:x8=[1+(x-1)]8=答案:8

4.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为 . 解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,

令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1, 再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+…+a10,

(x-1)+…+(x-1)7+(x-1)8,∴a7==8.

两式相减,可得a1+a3+…+a9=.