浙江省温州中学2017年自主招生九年级数学模拟试卷含答案

2016年温州中学自主招生 数学模拟试卷

参 考 答 案 及 评 分 建 议

一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）

[ 1~5 ] C C B D C

二、简答题(本大题分10小题，每空6分，共60分)

[本大题评分建议：若数字书写不清晰，不给分]

?1?6、 243 7、 ?0，? 8、 6 9、 171

?4?10、 6 11、 40° 12、 13、 [-2,

2

1497 15、 15 ] 14、 43

三、分析解答题(本大题分5小题，16题10分，17~20题每题15分，共70分) 16、(10分)(可能有多种解法)

[证明]

(3分)

(7分)

故得证！ (10分)

17、(15分)(可能有多种解法)

[证明]把这些小三角形的边进行赋值：边的端点同色的，赋值0；边的端点不同

色的，赋值1．于是每个小三角形的三边之和有如下三种情形：(3分) (1)三顶点都不同色的，和为3； (2)恰有两顶点同色的，和为2； (3)三顶点都同色的，和为0．(6分)

设所有小三角形的边赋值之和为S，上述三种情形的三类小三角形的个数分别为a，b，c，于是S=3a+2b+0c=3a+2b．(9分)

而注意到所有小三角形的边的赋值之和中，除了AB，BC，CA边外，其余的边都被算了两次，所以它们赋值之和为偶数，再加上AB，BC，CA三边赋值之和为3，所以S是奇数．(14分)

因此a是奇数．即三顶点都不同色的小三角形总数为奇数．(15分)

18、(15分)(可能有多种解法)

22?44bcbc??((dd??aa))2?44bcbc??((cc??bb))2?((bb??cc))2． [解](a?d)2?4ad?(d?a)2???∴2k?2m．∴k>m．(2分)

把d?2k?a,c?2m?b，代入ad=bc，有 a(2k?a)?b(2m?b)(1)， 由(1)可得b?2m?a?2k?b2?a2．(4分)

即2mb?2ka?b2?a2，2m(b?2k?ma)?(b?a)(b?a) (2)(5分)

已知a，b都是奇数，所以a+b，a-b都是偶数，又(a?b)?(a?b)?2a是奇数的2倍，故b+a，b-a中必有一个不是4的倍数．(7分)

?b?a?2m?1e?b?a?2m?1e由(2)必有?或?．其中，e，f为正整数，且

?b?a?2f?b?a?2fef?b?a?2k?m是奇数．[(a?b)?(a?b)?2mef，与(2)比较可得](9分)

ef??bb??22aa??bb??aa??22f．从而e=1，f?b?a?2k?m． 由于k>m，故ef?b?a?2m?1考虑前一情况，有?(11分) k?m?b?a?2f?2(b?a?2)由第二式可得 b?a?2k?1?ma，故 2m?1?2k?1?ma，所以奇数a=1．(13分)对于后一情况，可作类似的讨论．(15分)

19、(15分)(解法可能有多种，给分分为4档：0分、5分、10分、15分，

注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改)

(5分)

(10分)

(15分 )

(5分)

第20题

(10分)

(15分)

20、(15分)(解法可能有多种，给分分为4档：0分、5分、10分、15分，

注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改) [证明]

(10分)