上海市黄浦区2018届高三4月模拟(二模)数学试题含解析

试卷

【解析】二项式式的展开式中，

通项公式为

时满足题意，共71个．

故选B. 15. 实数

满足线性约束条件

则目标函数的最大值是（ ）

A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】D

【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，

然后平移直线最大值是故选D．

，当直线过点时，最大值为6．则目标函数的

16. 在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A. 设

必共线

B. 若向量

是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为

，且表示方法是唯一的

C. 已知平面向量等边三角形

D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 【答案】D 【解析】由

则点

必共线，

，使得其中任意

满足

，且

，则

是

是同一平面上的四个不同的点，若

，则点

试卷

故A正确；

由平面向量基本定理可知B正确； 由故为故选D. 三、解答题： 17. 在四棱锥

中，

平面

，

，

．

的中心，即

可知为

的外心，由

可知为

的重心，

是等边三角形，故C正确；

(1)画出四棱锥(2)若

，求直线

的主视图； 与平面

所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)

.

的主视图；

的法向量，

【答案】（1）正视图见解析；（2）

【解析】试题分析：(1)根据三视图的画法，画出四棱锥

(2) 如图所示建立空间直角坐标系，求出相应点和向量的坐标，求出平面平面可求出直线

与平面

所成角的大小．

试题解析：(1)主视图如下：

(2) 根据题意，可算得 又

，

.

按如图所示建立空间直角坐标系，

试卷

可得，于是，有设平面则令

，可得与平面与平面的法向量为即

，故平面

. .

，

的一个法向量为. .

设直线所以直线

所成角的大小为，则所成角的大小为

.

18. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形

挖去扇形

后构成的)．已知

，线段

与弧

、弧

的

长度之和为米，圆心角为弧度．

(1)求关于的函数解析式；

(2)记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值． 【答案】（1）米.

【解析】试题分析：（1）更具体求出扇形的周长，即可得到关于的函数解析式；； （2）根据扇形面积公式，求出函数解析式利用二次函数求出的值最大． 试题解析：(1)根据题意，可算得弧 又

，

()，弧

().

；（2）当

米时铭牌的面积最大，且最大面积为

平方

试卷

于是， 所以，

(2) 依据题意，可知 化简，得

，

.

.

于是，当答 所以当

(满足条件

)时，

(

). 平方米.

米时铭牌的面积最大，且最大面积为

19. 已知动点(1)求动点(2)过点作直线

到点的距离为，动点到直线的距离为，且.

的轨迹的方程；

交曲线于

两点，若

的面积

(是坐标系原

点)，求直线的方程. 【答案】（1）

；（2）

.

..................... 试题解析：(1)结合题意，可得

.

又，于是，，化简得

.

因此，所求动点

的轨迹的方程是

.