线性代数综合考试试卷

最新线性代数复习试题 （原二教文印中心）现在搬迁至学生活动中心楼下

2011-2012 A

一、选择题（每小题 3 分，共 15 分。请将答案填在下面的表格内）

*1、设A为n阶方阵，且A?a?0，则2A=（ ）.

2n2(n?2)nn?1A 、2a B 、 C、 a D、 2a

a2、设A,B为n阶矩阵，则下列不正确的是（ ）.

A、AB?BA B 、若AB?0，则A?0或B?0

C、(A?B)T?AT?BT D 、(AB)?1?B?1A?1

3、向量组?1,?2,?,?s(s?2)线性相关的充要条件是（ ）. A、 ?1,?2,?,?s中至少有一个零向量 B、?1,?2,?,?s中至少有两个向量成比例

C、?1,?2,?,?s中至少一个向量可由其余向量线性表示

D、?1,?2,?,?s中每一个向量可由其余向量线性表示

4、设A为m?n矩阵，齐次线性方程组AX?0仅有零解的充要条件是（ ）. A、A的列向量线性无关 B、A的列向量线性相关

C、A的行向量线性无关 D、A的行向量线性相关

?11?3???5、设A?1x2且A 的特征值为?1??2?2，?3?1则x=（ ）. ????241?? A、 1 B、 2 C、 3 D、 4

二、填空题（每题 3 分，共 15 分）

1、若三阶方阵A的特征值为为 .

???011???

2、矩阵A??021? 则A?1= .

?1??00??3??1?1，?2??1，?3?2，则A*?5A?2E的值

3、已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关，若向量组a1?a2,a2?a3,a3?a4,a4?a1的线性相关性为 .

T4、设A B均为3阶方阵，且A?3，B?5，则2BA?| .

?30?2???5、矩阵A??023?对应的二次型是f(x1,x2,x3)?_______________

??231???.三、求解下列行列式或矩阵

（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）

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12011、

13500156 . 1234

?101 2、若矩阵A????020??，求A3

.

??001??

?033?3、已知A=??110??，又AB?A?2B，求B.

???123??

四、证明题（每题 8 分，共 8 分）

已知?1,?2是齐次线性方程组AX?0的两个线性无关的解，AX?b,(b?0)的解，求证?1,?2,?线性无关.

是非齐次线性方程组 38 / 50

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五、求解下列方程组（每题 10 分，共 20 分）

?x1?x2?x3?x4??1?1、求非齐次线性方程组?4x1?3x2?5x3?x4??1的通解.

?2x?x?3x?3x?134?12

2、设4元非齐次线性方程组AX?b,(b?0)的系数矩阵的秩为3，?1,?2,?3是非齐次线性方?2???2?????13程组AX?b,(b?0)的三个解向量，且?1??2???,?2??3???, 求该方程组的通解 ?3??2??????5??1?

六、综合计算题（每题 8 分，共 16 分）

1、设向量组为：?1??3,?1,1?,T?2??3,?4,5?,?3??0,3,6?,TT?4???2,0,?2,?

T求该向量组的秩及其一个最大无关组，并将不属于最大线性无关组的向量用最大线性无关组

线性表示.

222、已知二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?4x1x3?4x2x3 求一正交变换，把二次型化为标

准形.

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2011-2012 A 答案

一、选择题（每小题 3 分，共 15分。请将答案填在下面的表格内） 1、 D 2、 B 3、 C 4、 A 5、 C 二、填空题（每题3分，共 15分）

?003??120 ?1101、?55 2、A?1???? 3、线性相关 4、

?2?10???225、f?x??3x12?2x2?x3?4x1x3?6x2x3

三、求解下列行列式或矩阵（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）

1、

11 解：利用行列式的性质：D?0123120553112001?601400015?1…………（2分） 563315?115?1按第一列展开：D?156?007…………（4分）

033033再按第二列展开：D?7?(?1)2?32、

15??21…………（2分） 03?101??101??102?解：因为A2??020??020???0220?…………(4

???????001??001??001????????102??101??103???????A3?A2A??0220??020???0230?………………（4

?001??001??001???????分)

分）

3、

解：?A?2E?B?A…………（1分） B??A?2E??1…………（2分） A

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