近世代数的答案

近世代数习题解答

第二章 群论

1 群论

1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?

证 不是一个群,因为不适合结合律.

2. 举一个有两个元的群的例子.

证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.

3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件

4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立

'?1 5. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a,能让 aa?e

?1'' 4,5来作群的定义:

证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa 因为由4'G有元a能使aa?e 所以(aa)e?(aa)(aa)

?[a(aa)]a?[ae]a?aa?e 即 aa?e

?1?1?1'?1'?1'?1?1?1'?1?e 得a?1a?e

'?1' (2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa)a?a(aa)?ae?a 即 ea?a

这样就得到群的第二定义. (3) 证 ax?b可解 取x?ab

a(ab)?(aa)b?be?b 这就得到群的第一定义.

反过来有群的定义得到4,5是不困难的.

''?1?1?1?1?12 单位元,逆元,消去律

1. 若群G的每一个元都适合方程x?e,那么G就是交换群.

2证 由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对a,b?G有ab?(ab)

2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.

?1证 (1) 先证a的阶是n则a的阶也是n.a?e?(a)?(a)n?1nn?1?1?b?1a?1?ba.

?e?1?e

若有m?n 使(a)?e 即 (a)?1是n矛盾.?a的阶等于a的阶

?1mm?1?e因而 am?e?1 ?am?e 这与a的阶

(2)

a的阶大于2, 则a?a?1 若 a?a?1?a2?e 这与a的阶大于2矛盾

?1(3) a?b 则 a?b?1

总起来可知阶大于2的元a与定是偶数

a?1双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一

3. 假定G是个数一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的

个数一定是奇数.

证 根据上题知,有限群G里的元大于2的个数是偶数;因此阶

?2的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 ?2的元的个数一定是奇数.

4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.

证 a?G

故 a,a,?,a,?,a,??G

由于G是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: a?a (m?n) 故 amn2mnn?m?e

n?m是整数,因而a的阶不超过它.

4 群的同态

假定在两个群G和G的一个同态映射之下,a?a，a和a的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 G?{1, G?{1}

?????1?i3?1?i3,} 22? 对普通乘法G,G都作成群,且?(x)?1(这里x是

G的任意元,1是G的元)

由 ?可知 G∽G 但

???1?i3?1?i3,的阶都是3. 22而1的阶是1.

5 变换群

1. 假定?是集合的一个非一一变换,?会不会有一个左逆元?证 我们的回答是回有的A?{1,2,3,?}

?1,使得?????

?1?1: 1→1 ?2 1→1

2→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …

?显然是一个非一一变换但 ??1???

2. 假定A是所有实数作成的集合.证明.所有A的可以写成x?ax?b,a,b是有理

数,a?0形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) ?: x?ax?b

?: x?cx?d

??: x?c(ax?b)?d?cax?cb?d ca,cb?d是有理数 ca?0 ? 是关闭的.

(2) 显然时候结合律

(3) a?1 b?0 则 ?: x?x (4) ?: ax?b ?而 ??1?1:x????所以构成变换群.

1bx?(?) aa又 ?1: x?x?1 ?2: x?2x ?1?2: x?2(x?1) ?2?1: x?2x?1 故?1?2??2?1因而不是交换群.

3. 假定S是一个集合A的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号?:a?a??(a)

来说明一个变换?.证明,我们可以用?1?2: a??1[?2(a)]??1?2(a)来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说?还是S的单位元. 证 ?1: a??1(a) ?2: a??2(a)

那么?1?2: a??1[?2(a)]??1?2(a)

' 显然也是A的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:

(?1?2)?3:a?(?1?2)[?3(a)]??1[?2[?3(a)]] ?1(?2?3):a??1[?2?3(a)]??1[?2[?3(a)]] 故 (?1?2)?3??1(?2?3) 再证?还是S的单位元 ?: a?a??(a) ??: a??[?(a)]??(a)?

??: a??[?(a)]??(a) ? ?????

4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。 证 设?是是变换群G的单位元

??G ，G是变换群，故?是一一变换，因此对集合 A的任意元a，有A的元b， ?: b?a??(b)

?(a)??(?(a))=??(b)??(b)?a ? ?(a)?a 另证 ?(x)???(x) 根据1.7.习题3知??(x)?x ??(x)?x

5. 证明实数域上一切有逆的n?n矩阵乘法来说，作成一个群。

证 G={实数域上一切有逆的n?n矩阵}

?1?1A,B?G 则B?1A?1是AB的逆

从而 A,B?G

对矩阵乘法来说，G当然适合结合律且E（n阶的单位阵） 是G的单位元。 故 G作成群。

6 置换群

1. 找出所有S3的不能和(231)交换的元.

123123123123 证 S3不能和(231)交换的元有 (132),(213),(321) 这是难验证的.

123

2. 把S3的所有的元写成不相连的循环置换的乘积