“等差、等比数列”同一题多解多变

“等差、等比数列”同一题多解多变

新课标的教学背景下，要求我们教师在课堂上，充分调动学生的积极性，启发、激活学生的解题思维，因此，我认为要使学生在数学的学习与解题中有所建树，我们教师应该在“同一题多解多变”的教学上多下工夫。“一题多解”有利于调动学生的积极性，在教师的引导和启发下极大提高学生对数学的学习兴趣，培养学生的创新思维，使学生不再满足仅仅用一种方法解题，而是去追求更独特、快捷的解题方法。总之，“一题多解”的教学有利于学生思维能力的创新与提高。

下面举例进行一题多解：

例：等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9, S6=36,求a7+a8+a9的值. 解法一：（公式法） 设等差数列{an}的公差为d. 则有 解得，

∴an=2n-1，即a7=13，a8=15，a9=17. ∴a7+a8+a9=45 评注：

课堂教学过程与感受:此方法直接利用等差数列的求和公式求出，可得到关于a1和d的二元一次方程组，求出a1和d，进而得到等差数列{an}的通项公式，求出a7+a8+a9。

公式法是求解数列题目最基本的一种思想方法，这种方法适于基础知识掌握程度一般的同学，由于讲解本节课内容时由于我所教的大部分学生基础还比较薄弱，在讲解的过程中此种方法学生比较容易接受，并且比较基础，更有利于激发学生对此方法的兴趣和加强对其他方法的求知欲望。

解法二：(利用等差中项性质求解) 设等差数列{an}的公差为d. 同解法一求得a1=1，d=2. 由等差数列中等差中项性质可知，

a7+a8+a9=3a8=3[a1+(8-1)d]= 3[1+2(8-1)] =45 评注：

课堂教学过程与感受：在教学过程中引导学生观察第一种解法需要逐个求出a7、a8、a9发现比较麻烦，因此启发学生探究能否利用等差数列的一些性质求解，教师加以引导，学生亲自探究发现，可以利用等差中项性质化简a7+a8+a9。

这种思想方法一方面激发了学生对利用数列性质解题的兴趣，另一方面启发学生利用性质解题的思维，这种方法在课堂上教师引导，学生探究，课堂氛围生动有趣，从而得出结论，也加深了学生对此种方法的理解，提高应用意识。

解法三：

（利用等差数列通项公式性质求解）

设等差数列{an}的公差为d. 由已知得S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6

= a1+a2+a3+(a1+3d)+ (a2+3d) +(a3+3d) =2S3+9d=36. 将S3=9代入，得d=2.

因此a7+a8+a9= a1+6d +a2+6d +a3+6d = S3+18d=9+36=45. 评注：

课堂教学过程与感受：课堂上让学生分析能否利用a7+a8+a9与S3的关系，学生分组讨论，其中一组代表发言，发现a7+a8+a9= a1+6d +a2+6d +a3+6d= S3+18d，因此只要利用S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=2S3+9d求解出公差d即可。

此种思想方法的优点在于简便快捷，但是学生的计算速度及分析能力有所欠缺，因此大多数不太容易掌握，主要困难在于求解方法运用与已知条件的结合，在今后的教学中要多加强培养学生在解题中双向思维的运用。

解法四：

（利用等差数列中Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, S4n-S3n,…成等差数列的性质求解） 由题意可知,a7+a8+a9= S9-S6.

等差数列{an}中,由等差数列的性质可知S3, S6-S3, S9-S6成等差数列. ∴9,27, a7+a8+a9成等差数列.

∴a7+a8+a9+9=27 2,解得a7+a8+a9=45 评注：

课堂教学过程与感受：教师提出问题：同学们仔细观察题目特点，已知中 S3, S6都已经给出，现在要想求解a7+a8+a9,那么a7+a8+a9能否用Sn的形式表示呢?

学生积极讨论，得出a7+a8+a9= S9-S6由此学生们发现可以利用

Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, S4n-S3n,…成等差数列的性质，知道S3, S6-S3, S9-S6成等差数列，从而求出a7+a8+a9的值。

此种思想方法利用已知和求解的特点，构造与已知最贴近的形式，灵活巧妙，学生比较感兴趣，在讲解过程中学生的积极性最高，掌握的得心应手，此种方法在教学的过程中更加注重以学生为主体，重点在于思维能力的培养，由于课堂氛围及学生掌握程度都很好，也比较有成就感。

例题中的几种解法评析:

本题主要考察等差数列的基本概念及性质，解法一与解法二主要利用前n项和公式，求出首项和公差，再利用通项公式进行求解，这两种方法是比较基本的方法，在课堂上对于基础薄弱的学生来说理解比较容易，解法三充分利用等差数列任意两项的关系 ，找出S3与S6的关系以及a7+a8+a9与S3的关系，使解答方便快捷.解法四利用等差数列的重要性质Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, S4n-S3n,…成等差数列，从而发现S3, S6-S3, S9-S6成等差数列，此种方法最为简单快捷，学生在此种方法的讲解过程中积极性最高，充分激发了学生对数学的兴趣，由于此种方法需要对等差数列的性质非常熟悉，因此对学生主动学习也起到了积极作用。

思考（留给学生课后作业）：在本题中你能否利用其它方法求解呢？结合本节课的学习，利用不同的方法求解下面两个问题。

至此，解答本题的几种常见方法讲解完毕，下面展示对本题的变式和推广。 我下面展示对本题的变式和推广。

变式1：已知等差数列{an}中a1+a2+a3=6，a2+a3+a4=9，则a3+a4+a5=——。 解法一：（利用通项公式求解）

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由a1+a2+a3=6，a2+a3+a4=9可知 即 解得

所以a3+a4+a5= (a1+2d)+ (a1+3d) +(a1+4d) =12

评注：利用等差数列通项公式是求解等差数列某几项之间运算的最基本的方法，虽然此种方法在调动课堂气氛，激发学生学习兴趣方面没有起太大的作用，但是对于刚刚接触等差数列，并且基础比较薄弱的同学来说这种方法是应该最先掌握的。

解法二：（利用等差中项求解）

等差数列{an}中a1+a2+a3=3a2，a2+a3+a4=3a3，a3+a4+a5=3a4 a1+a2+a3=6，a2+a3+a4=9 3a2=6，3a3=9 即a2=2，a3=3 a2，a3，a4成等差数列 a4=4 a3+a4+a5=3a4=12 评注：

题中给的已知和求解都是相邻三项相加的形式，学生仔细推敲不难想到利用这种方法求解。

解法三：

（利用等差数列中a1+a2+a3, a2+a3+a4, a3+a4+a5成等差数列性质求解） 设等差数列{an}的公差为d.

则有(a3+a4+a5)- (a2+a3+a4) =( a3-a2) +( a4-a3) +( a5-a4) =3d (a2+a3+a4)- (a1+a2+a3) =( a2-a1) +( a3-a2) +( a4-a3) =3d 即(a3+a4+a5)- (a2+a3+a4) =(a2+a3+a4)- (a1+a2+a3)

∴a1+a2+a3, a2+a3+a4, a3+a4+a5成等差数列，且a1+a2+a3=6，a2+a3+a4=9则a1+a2+a3, a2+a3+a4, a3+a4+a5三者的公差为3

∴a3+a4+a5=12

评注：基础较好的学生很容易发现a1+a2+a3, a2+a3+a4, a3+a4+a5成等差数列，从而求解出结果，在作业讲解时我会着重讲解这种方法，并将其进行推广，提高学生的兴趣，加深学生对此种方法的理解，并且能应用在相关的习题中。

变式2：已知等差数列{an}中a1+a2+a3=15，a5+a6+a7=51，求S11-S8的值 解法一：（公式法）

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由a1+a2+a3=15，a5+a6+a7=51可得 即 解得 评注：

所以 因此S11-S8=187-100=87.

评注：由于在课堂教学例题中，学生已经发现公式法是求解等差数列问题的最基本的方法，对于基础比较薄弱的学生来说这种方法仍然是他们在解题中最常用的方法，因此在今后的课堂教学中应该让学生首先掌握好基本知识点，在掌握透彻的基础上加强对解题思维与方法的培养。

解法二：（利用等差数列的通项公式求解） 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 同解法一求得 ，

∴S11-S8=a9+a10+a11= a1+8d+a1+9d+ a1+10d =3 a1+27d=3 2+27 3=87

评注：此种方法先利用等差数列的通项公式求解出首项a1和公差d,再根据S11-S8=a9+a10+a11=3a1+27d求解。这种方法将Sn-Sm转化成am+1+ am+2

+…+ an是求解等差数列题目的常见方法，学生应该比较容易想到。

解法三：（利用等差中项求解） 等差数列{an}中

a2是a1和a3的等差中项，a6是a5和a7的等差中项 利用等差中项性质可知 解得

S11-S8=a9+a10+a11=3a10且等差数列{an}中a2，a6，a10成等差数列 a2+a10= 2a6即5+a10= 34 解得a10=29

S11-S8=a9+a10+a11=3a10=3 29=87

评注：解法三应用等差中项的性质求解出a2，a6。再利用等差数列{an}中am-n，am，am+n成等差数列的性质最终求出S11-S8的值，这种方法在高考的解题中也较为常用。

解法四：（利用等差数列中a1+a2+a3，a5+a6+a7，a9+a10+a11成等差数列的性质求解） 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 等差数列{an}中(a5+a6+a7)- (a1+a2+a3)=4d， (a9+a10+a11)- (a5+a6+a7)=4d

a1+a2+a3，a5+a6+a7，a9+a10+a11成等差数列， (a9+a10+a11)+ (a1+a2+a3) =2(a5+a6+a7)

即(a9+a10+a11)+ 15=2 51

解得S11-S8=a9+a10+a11=2 51-15=87

评注：此种方法主要运用的方法是等差数列{an}中

若am+…+an，ap+…+aq，ar+…+as，…的每项项数相同，并且每项的首项角标之差相等，即p - m = r-p, 则m+…+an，ap+…+aq，ar+…+as，…成等差数列，这种思路经常会在等差数列的练习中应用。

有了前面等差数列几种解题方法的学习，将类似方法推广到等比数列的解题中，在学习完等比数列以后布置如下作业：

用两种或两种以上的方法分别求解下面三道题目:

变式3：已知等比数列{an}中a1a2a3=8，a2a3a4=64，则a3a4a5=——。

变式4：已知等比数列{an}中a1a2a3=3，a3a4a5=27，bn= an-1ana n+1，求b6的值。 变式5：等比数列{an}中a2= 2, a4= 8, 且bn= a1a2…a n

(1)求

b5

(2)求解 的值(结果可以用幂的形式表示)

评注：最后这三个变式要求学生在学习等比数列的基本性质以后完成的作业，要求学生结合等差数列类似题目的求解方法，用两种或两种以上的方法求解。

这三道题目安排的目的在于将等差数列的解题思想推广到等比数列的解题中去，让学生在自主探究的过程中，加强对类比推广的思想的运用，同时调动学生学习的积极性，激发学生对数学解题的兴趣。

小结：一题多解重点在于加强对学生思维能力的培养，这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。在数学教学中,若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。虽然在课堂中不断渗透数学解题的基本思想，培养学生分析问题解决问题的能力，但是更多的时间应该留给学生去练习，去探究，在几个变式中均未将所有的解题方法教给学生，目的在于让学生利用更多的自己去思考去探究，从而达到学以致用的效果。