高三数学一轮复习精品学案7：§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

高三数学一轮复习精品资料 针对训练

1.已知p:|x+1|>3,q:x>a,且p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,2』

B.『2,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,4』

2.设p:函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)上单调递增,q:函数g(x)=x2-4x+3m的最小值大于0,则p是q的_______ 条件.(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)

知识梳理

3.①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件

④既不充分也不必要条件 4.①A是B②B是A③A=B

——★ 参 考 答 案 ★——

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高三数学一轮复习精品资料 基础自测 1. (1)×(2)√(3)×(4)√ 2. C

『解析』由交集运算及子集的概念知,若A∩B=A,则A?B,若A?B,则A∩B=A,故为充要条件. 3. A

『解析』z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,

a=时,??=?i对应的点在第四象限,反之当点??在第四象限时,

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??+2>0,有{解得?2

??-2<0,

因此“??=”是“点M在第四象限”的充分不必要条件.

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4.[3,8]

『解析』由??2?7????+12??2<0(??>0)?3??

??2??2

即命题??:3??

???12???33

可知2???>???1>0?1

22又因为非??是非??的充分不必要条件等价于??为??的充分不必要条件,

3??≥1,1313

3解得≤??≤,故实数??的取值范围是[,]. 因此应有{

38384??≤,

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考点1 四种命题及其真假的判定 典例1

解 对于(1),要从矩形的对角线的性质去着手;对于(2),要从方程根的存在性去判断;而对于(3),要从实数的平方不小于0的角度去着手. (1)逆命题:对角线相等的四边形是矩形.假命题. 否命题:有一些矩形的对角线不相等.假命题. 逆否命题:对角线不相等的四边形不是矩形.真命题. (2)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1.假命题. 否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根.假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1.真命题. (3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0.真命题. 否命题:若x2+y2≠0,则实数x,y不全为零.真命题.

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逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y2≠0.真命题. 变式训练 B

『解析』当m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”时,必有m-1<0,解得m<1.而“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”时必有0

『解析』由|x-2|<1得10得x<-2或x>1, 故“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件. 变式训练 B

『解析』当m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”时,必有m-1<0,解得m<1.而“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”时必有0

“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数” 的必要不充分条件,即选项B正确. 考点3 充分条件与必要条件的应用

典例3 解 先将命题q的不等式化简,得到1-m≤x≤1+m,再将 p, q求出,利用数轴列不等式组求解或转化为其等价命题求解.

解法1:由命题q:x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m, ∴ ? q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}. ∵命题p:-2≤x≤10,∴ p:B={x|x>10或x<-2}.

∵ ? p是? q的必要不充分条件,∴A? B,∴即m≥9或m>9, ∴m≥9,∴实数m的取值范围是『9,+∞).

解法2:∵ ? p是? q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件.由q:x2-2x+1-m2≤0,m>0,得1-m≤x≤1+m,

∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m},p:P={x|-2≤x≤10}.

∵p是q的充分不必要条件,∴P? Q,∴即m≥9或m>9, ∴m≥9,∴实数m的取值范围是『9,+∞). 变式训练 C

『解析』由4『x』2-12『x』+5<0,可得2<『??』<2,又由于『x』表示不大于x的最大整数,

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所以1≤『x』≤2,则可得x∈『1,3),对比选项知x∈『1,2』为不等式成立的一个充分不必要条件.

判断充分必要条件的常用方法探究

典例1 解 p,q都是r的必要条件可表示为r?p,r?q,s是r的充分条件可表示为s?r,q是s的充分条件,可表示为q?s.

由传递性可知s?q,故s是q的充要条件,由传递性可知q?r,故r是q的充要条件;由传递性可知p是q的必要条件.

s是q的充要条件,r是q的充要条件,p是q的必要条件. 典例2

原命题的等价命题为“如果a>1,则方程ax2+2x+1=0没有负实根”,因为a>1时,Δ=4-4a<0,所以方程ax2+2x+1=0没有负实根,即原命题的逆否命题为真, 典例3 p是q的必要不充分条件

『解析』q:x-1=√3????q:x=2,由韦恩图易知p是q的必要不充分条件. 针对训练 1.B

『解析』∵|x+1|>3,∴x+1>3或x+1<-3, ∴p:A={x|x>2或x<-4},q:B={x|x>a}. ∵p是q的必要不充分条件,∴B? A,∴a≥2. 2.必要不充分

『解析』若函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,

则f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即3x2+4x+m≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即Δ1=16-12m≤0,即m≥;

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若函数??(??)的最小值大于0,

则??2=16?12??<0,即??>3.

则p成立时q不一定成立,q成立时p一定成立, 故p是q的必要不充分条件.

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