高三数学一轮复习精品学案7：§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

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§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

考纲概述 考查热点 考查频次 备考指导 ★★ ★★★★ 能根据一个命题写出其逆命题、否命题与逆否命题,并进行等价命题的转换,理解必要条件、充分条件的含义,能正确表述充分条件与必要条件、充分不必要条充分条件与必要条件的应用 ★★★ 件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件,能利用充分、必要条件求参数的取值范围. (1)理解命题的概念; 四种命题及其真假的判断 (2)了解“若p,则q”形充分条件与必要条件的判定 式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系; (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 知识梳理 1.命题

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,可写成“若p,则q”的形式.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系

注意:原命题与其逆否命题的真假性相同,原命题的否命题与原命题的逆命题的真假性也 相同.

3.充分、必要条件的概念

若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p?q且q??p p??q且q?p p?q

p是q的①________________ p是q的②________________ p是q的③________________ 1

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p??q且q??p p是q的④_____________________ 4.充分、必要条件与集合之间的包含关系

设p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为B p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 ①_______的真子集 ②_______的真子集 ③_______ A,B互不包含 5.常用的数学方法与思想集合法、转化化归思想. 基础自测

1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)语句“2a+1>0”是命题.( ) (2)语句“2016≥2015”是真命题.( )

(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”.( ) (4)已知集合A,B,则A∪B=A∩B的充要条件是A=B.( ) 2. 设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A?B”的 ( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=”是“点M在

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第四象限”的( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知命题p:实数m满足m2-7am+12a2<0(a>0), 命题q:实数m满足方程

??2???1

+

??22???

=1表示焦点在y轴上的椭圆,且非q是非p的充分不必要

条件,则实数a的取值范围是 . 考点1 四种命题及其真假的判定

典例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)矩形的对角线相等;

(2)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根; (3)若x2+y2=0,则实数x,y全为零.

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高三数学一轮复习精品资料 方法提炼

四种命题形式的变换及真假判断

(1)(改)原命题改写成“若p,则q”形式,然后再写出其他命题. (2)(查)检查有大前提时,在改写其他命题时大前提不变, 含有“且”与“或”时其否定要对应改成“或”与“且”.

(3)若说明命题为真命题,必须证明;而说明命题为假命题,则只需举出一个反例即可. 变式训练

已知m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点2 充分条件与必要条件的判定

典例2 设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的 ( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 变式训练

已知m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点3 充分条件与必要条件的应用

典例3 已知命题p:-2≤x≤10,命题q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 ? p是 ? q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 规律方法

应用充分条件、必要条件求参数时的两点注意

(1)充分条件与必要条件主要应用于求参数的取值范围.对于条件或结论含有参数的命题,可先将其转化为最简形式,分别求出其真时对应的不等式(组),再利用韦恩图或数轴的直观性列出方程或不等式,即可求出参数的值或取值范围.

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(2)当从原命题入手较难时可转化为其逆否命题求解. 变式训练

对于任意实数x,规定『x』表示不大于x的最大整数,则不等式4『x』2-12『x』+5<0成立的充分不必要条件是( )

A.x∈(2,2) B.x∈(2,3) C.x∈『1,2』 D.x∈『1,3) 判断充分必要条件的常用方法探究

1.定义法:若p?q为真,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 典例1 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件, q是s的充分条件,那么s是q的什么条件? r是q的什么条件?p是q的什么条件?

2.等价命题判断法:利用原命题与其逆否命题等价,当原命题不太好求解时,可利用其等价命题来求解.

典例2 判断命题:“如果方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,则a≤1”的真假.

3.直观图象判断法:利用韦恩图(或数轴)判断.

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图(1)表示p是q的充分不必要条件; 图(2)表示p是q的必要不充分条件; 图(3)表示p是q的充要条件;

图(4)与图(5)表示p是q的既不充分又不必要条件.

典例3 已知命题p:x=1或x=2,命题q:x-1=√3???,则p是q的什么条件?

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