高中数学（人教A版）必修2同步教师用书： 第1章 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

图1-3-1

【精彩点拨】 先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比．

【自主解答】 法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V＝abc， 1

又S△A′DD′＝2bc，

且三棱锥C-A′DD′的高为CD＝a. 11

∴V三棱锥C-＝S·CD＝A′DD′

3△A′D′D6abc.

15

则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－6abc＝6abc. 15

故V棱锥C-A′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5. 66

法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.

1

而棱锥C-A′DD′的底面面积为2S，高为h， 111

因此棱锥C-A′DD′的体积VC-＝×Sh＝A′DD′

326Sh. 15

剩余部分的体积是Sh－6Sh＝6Sh.

所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 15Sh∶66Sh＝1∶5.

1．常见的求几何体体积的方法 (1)公式法：直接代入公式求解．

(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2．求几何体体积时需注意的问题

柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．

[再练一题]2．如图1-3-2所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．

图1-3-2

(1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A-A1BD的高. 1

【解】 (1)V三棱锥A1-A1A ABD＝S△ABD·3111

＝3×2·AB·AD·A1A＝6a3. 故剩余部分的体积 V＝V正方体－V三棱锥A1-ABD

15＝a3－6a3＝6a3.

13

(2)由(1)知V三棱锥A-＝V＝ABD三棱锥A1-ABD16a， 设三棱锥A-A1BD的高为h， 1

则V三棱锥A-h ABD＝·13S△A1BD·1133

＝3×2×2(2a)2h＝6a2h， 故

32133ah＝a，解得h＝a. 663

[探究共研型]

与三视图有关的表面积和体积 探究1 一个几何体的三视图如图1-3-3所示，请说出该几何体的结构特征．

图1-3-3

【提示】 由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形． 探究2 试根据图1-3-3中数据求该几何体的表面积．

【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱