2019-2020学年度最新高三高考数学二轮复习专题训练+19+Word版含答案

2019-2020学年度最新高三高考数学二轮复习专题训练+19+Word版含答案03

三、特殊方法

?a1(n?1)1、Sn法，即an??。

S?S(n?2)n?1?n思路：如果数列?an?满足的某种关系是由数列?an?的前n项和Sn给出时，则可以构造出Sn式①和Sn?1式②，然后利用公式an???a1(n?1)，将①式和②式做差，使其转化为数列

S?S(n?2)n?1?n?an?的递推关系，再根据递推关系的特点，按照构造辅助数列等的方法求出数列?an?通项公

式。

例1：已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?2n。 （1）写出数列的前3项a1,a2,a3； （2）求数列?an?的通项公式。

解：（1）由a1?S1?2a1?2，得a1??2。

由a1?a2?S2?2a2?4，得a2??6，由a1?a2?a3?S3?2a3?6，得a3??14 （2）当n?2时，有an?Sn?Sn?1?2?an?an?1??2，即an?2an?1?2； 令an???2?an?1???，则an?2an?1??，与①比较得，???2；

??an?2?是以a1?2??4为首项，以2为公比的等比数列；

?an?2?(?4)?2n?1??2n?1，故an??2n?1?2。

补充练习：设数列?an?的前n项的和Sn?（1）求首项a1与通项an；

n2n3*（2）设Tn?，n?N，证明：?Ti?。

Sn2i?1412an??2n?1?，n?N*。 333解：（1）

a1?S1?412a1??22?333，解得：a1?2；

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441an?1?Sn?1?Sn?an?1?an??2n?2?2n?1??a?2n?1?4a?2nn?1n333；

??所以数列

?an?2n?是公比为4的等比数列，所以：

an?2n??a1?21??4n?1；

nna?4?2*得：n，n?N。

4124122Sn?an??2n?1???4n?2n???2n?1???2n?1?1??2n?1?3333333（2）； 2n32n3?11?Tn???n?1?????Sn2?2?1??2n?1?2?2n?12n?1?1?；

所以，

?Ti?i?1n3?11?3??1?n?1??2?2?12?1?2。

2、对数变换法

思路：将一阶递推公式an?1?can取对数得lgan?1?plgan?lgc。 例2：若数列?an?中，a1?3且an?1?an（n是正整数），则它的通项公式是

2pan? 。

解：因为an?0，将an?1?an两边取对数得lgan?1?2lgan，即

2lgan?1?2，所以数列lgann?1{lgan}是以lga1?lg3为首项，公比为2的等比数列，lgan?lga1?2n?1?lg32an?32n?1，即

。

2补充练习：已知数列?an?满足a1?2，an?an?1（n?2），求数列?an?的通项公式。 解：由an?an?1可得，lgan?2lgan?1 ∴lgan?lga1?2n?1?lg2?2n?1?lg22故an2n?1

?22n?1。

3、平方（开方）法

例3：若数列?an?中，a1?2且an?解：将an?23?an，求数列?an?的通项公式。 ?1（n?2）

22223?an?1两边平方整理得an?an?1?3。数列{an}是以4为首项，3为公差的

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22等差数列，an?a1?(n?1)?3?3n?1。因为an?0，所以an?3n?1。

4、求差（商）法 例4：若数列?an?满足

111a1?2a2?......?nan?2n?5，求数列?an?的通项公式。 2221111a1?7?a1?14，设a1?2a2?......?nan?2n?5① 2222111当n?2时，a1?2a2?...?n?1an?1?2n?3②

222解：当n?1时，

?14,n?11n?1①—②得：nan?2?an?2,n?2，综上，an??n?1。

22,n?2?5、迭代法

例5：已知数列?an?满足an?1解：因为an?1?a3(n?1)2nn，a1?5，求数列{an}的通项公式。

3n?2n?1n?1?a3(n?1)2n，所以nan?a?[a3(n?1)?2n?23n?2n?1 n?2]?a32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)n?23(n?2)?2n?3n?3?[a?a?]32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)33(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)n?33?a13?a1n?1?2?3(n?2)?(n?1)?n?21?2??(n?3)?(n?2)?(n?1)

n?1n(n?1)2?n!?23a?5又a1?5，所以数列?an?的通项公式为nn?1n(n?1)?n!?22。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式

an?1?a3(n?1)2nn两

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n边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2?lgan，即

lgan?1?3(n?1)2n，再由累乘法

lgann?1n(n?1)?n!?22可推知lgan?从而an?56、换元法

3n?1?n!?2lganlgan?1??lgan?1lgan?2。

?lga3lga2??lga1?lg53lga2lga1，

n(n?1)2例6：已知数列?an?满足an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列?an?的通项公式。 161212(bn?1)，故an?1?(bn?1?1)， 2424解：令bn?1?24an，则an?代入an?1?112112(1?4an?1?24an)得(bn?1)?[1?4(bn?1)?bn]， ?11624162422即4bn?1?(bn?3)，因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0，

则2bn?1?bn?3，即bn?1?131bn?，可化为bn?1?3?(bn?3)， 2221为公比的等比数列，2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以因此bn?3?2()111?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，

22221n1n1得an?()?()?。

342312n?1补充练习：

1、已知正数数列?an?中，a1?2，且关于x的方程x?an?1x?22an?1?0n?N?，有4相等的实根。 （1）求a2,a3的值； （2）求证：

1112??...??，n?N?。 1?a11?a21?an3解：（1）由??an?1?2an?1?0得an?1?2an?1，又a1?2，则a2?5,a3?11。

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