初等数论试卷

说明：要证p55n?1?1，只需证明55n?1?1(modp)，即证：

5p5n?1?510n?1?12?5p?12?1(modp) 这样就转化为证明：

(5)?1。

证明：因为(5)?(p)?(10n?1)?(?1)?1(modp)。

p555 所以55n?1?510n?1?12?5p?12?1(modp)。 故：p55n?1?1。

4、设p=4n+3是质数，证明当q=2p+1也是质数时，梅森数Mp=2p-1不是质数。 由此证明：23|（2-1），47|（2-1），503|（2

11

23

251

-1）。

q证明：由条件：q=2p+1=8n+7?-1(mod 8)，从而：(p)=1，

即1?2不是质数。

当n=2，n= 5，n=62时立得：23|（2-1），47|（2-1），503|（2

11

23

251

q?12p

?24n+3?2p （mod q)，于是q|（2p-1）。故：梅森数Mp=2-1

-1）。

注：此题还可以进一步表述为：设p=4n+3是质数，证明：2p+1是质数的充

要条件是2p≡1(mod 2p+1)。必要性已证。下证充分性：若2p≡1(mod 2p+1)，则

p∣?(2p+1)，因此必有?(2p+1)= p 或2p 。由于?(2p+1)为偶数，故?(2p+1)=2p 。

5、证明：设p是大于5的质数，则

(p?1)!?p?1?Z。

p(p?1)说明：只需证明：p(p+1) | (p-1)!+p+1。又因为(p，p+1)=1，所以需证： p | (p-1)!+p+1 与(p+1) | (p-1)!+p+1同时成立即可。 证明：由Wilson定理：?p?1?!?1?0?modp?知：p | (p-1)!+p+1；

又p是大于5的质数，可设p+1=2n，其中2＜n＜p-1，于是 (p+1) | (p-1)!+p+1。 故：p(p+1) | (p-1)!+p+1。即

(p?1)!?p?1?Z。

p(p?1)