初等数论试卷

一．填空题：

1、(?1859, 1573)=143 2、对于任意的正整数a,b，有[a,b]?ab. (a,b)3、x?[x]?{x}. 4、22345680的标准分解式是

22345680?24?3?5?7?47?283.

5、整数集合A中含有m个整数，且A中任意两个整数对于m是不同余的，则整数集合A是模m的完全剩余系.

6、设a、b是任意两个正整数，则不大于a而为b的倍数的正整数个数为??.

b7、素数写成两个平方数和的方法是唯一的. 8、不同剩余类中的任何两个不同整数对模m是不同余的.

9、n元一次不定方程a1x1?a2x2?……?anxn?c.有解的充分必要条件是

?a???(a1?a2……an)c. 10、初等数论按研究方法分为：初等数论、解析数论、代数数论、几何数论.

11、数集合A是模m的简化剩余系的充要条件（1）A中含有f(m)个整数；（2）任意两个整数对模m不同余；

（3）A中每个整数都与m互素；

212、 设n是正整数c2n1,c2n3,.........c2n2n?1的最大公约数为,k?1 13、若(a,b)?1，则

(a,bc)?(a,c).

14、81234被13除的余数是12. 15、模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6.

二、判断题：

1、若n为奇数，则8|n?1。 （ √ ） 2、设n、k是正整数n与nkk?42的个位数字不一定相同。 （ × ）

3、任何大于1的整数a都至少有一个素因数. （ √ ） 4、任何一个大于1的合数与a，必然有一个不超过a的素因数. （ √ ） 5、任意给出的五个整数中必有三个数之和能被整数3整除. （ √ ） 6、最大公约数等于1是两两互素的必要而不充分条件. （ √ ） 7、设p是素数，a是整数，则pa或(p,a)?1. （ √ ） 8、如果a1,a2……an是互素的，则a1,a2……an一定两两互素 （ ×）

9、设p是素数，若pab，则pa且pb. （ × ） 10、（刘维尔定理）设p是素数，则(p?1)！??1(modp) （ √ ） 11、m是正整数(a,m)?1，则a?(m)?1(modm).（ √ ）

12、由于每个非零整数的约数个数是有限的，所以最大的公约数存在，且正整数。（ √ ） 13、设d是a1,a2……ak的一个约数，则da1,a2……ak（ √ ） 14、1978103?19783不能被10整除。（ × ） 15、1?311?........? (n?2) 是整数（ × ） 2nn16、n为正整数，若2?1为素数，则n不一定是素数（ × ） 17、若n?1并且(n?1)!?(modn),则n不是素数（ × ）

18、设f(x)是整系数多项式，并且f(1),f(2),……f(m)都不能被m整除，则f(m)?0有整数解（ × ）

19、若(m1,m2)?1（m1,m2是任意两个互质的正整数），是则?(m1m2)??(m1)??(m1) （ × ）

20、如果两个整数互相整除，则这两个数仅相差一个符号（ × ） 三、计算题：

221、设a、b是整数且9a?ab?b，则3(a,b).

22222解：由9a?ab?b?3(a?b)?3ab?3(a?b)?3a?b?9(a?b). 22再由9a?ab?b得93ab?3ab.

由定理4的推论1（设p是素数，若pab，则pa或pb.）得3a或3b. 2、求(12345, 678).

（12345,339）?（12006,339）?（6003,339）?（5664,339）解：(12345, 678).=

=（177,339）=（177,162）=（177,81）=（96,81）=（3,81）=3.

3、求(25733?46)26被50除的余数. 解：根据定理4，有(257?46)3326?(733?4)26?[(7?72)16?4]26?[7?(?1)16?4]26

265?（7?4）?326?3（?35）??21?29（mod50)即所

求的余数是29.

19写成三个既约分数之和，它们的分母分别是2，3和5. 3019xyz???即15x?10y?6z?19. 解：设

302354、将

?15x?10y?5t?t??1?6u解得? (15,10)?5?d2 ?上述方程等价于??5t?6z?19?z?4?5u?x??1?6u?2v?x?t?2v?从而，?故?y?1?6u?3v(u,v?z)y??t?30??z?4?5u?即

取u?v?0得x??1,y?1,z?419114???? 302355、求不定方程3x?6y?15的解. 解：

(3,6)?315?方程有解

由辗转相除法，可以知道x??1,y?1是方程3x?6y?3(x?2y?1?a?1,b?2)的一个解

所以，x0??5,y0?5就是原方程的解； 由定理2知??x??5?2t（t?z)

?y?5?t6、用辗转相除法求整数x、y使得1387x-162y=(1387,162).

解：作辗转相除：1387?(?162)?(?8)?91，?162?91?(?2)?20

91?20?4?11，20?11?1?9，11?9?1?2，9?2?4?1，2?1?2?0 由此可得n?6，q1??8，q2??2，q3?4，q4?1，q5?1，q6?4

x=(?1)n?1Qn?73，

y=(?1)np?625,又(1387,162).=rn?1，

n故1387?73?162?625?1?(1387,162)

177、将写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7（第四章习题一1）

105解：设

17xyz???，即35x?21y?15z?17. 105357因(35,21)?7,(7,15)?1，117，故有解. 分

别

解

5x?3y?t得?tx??t?3u,y?2t?5u,u?Z,t?11?15v,z??4?7v,v?Z

消去t得x??11?15v?3u,y?22?30v?5u,z??4?7v,u、v?Z. 对于任意的确定的u和v的值，都给出一种表示法。 8、求最大的正整数k，使得10199!

解：由定理3（设n是正整数，n!?p1?p2……pk?1?2?kk是n!的标准分解式，则?i??[r?1?n]）pir

从而得知，

199199199!的标准分解式中所含的5的幂指数是[]?[2]?……?4755（199!?10k?A?2k?5k?A） 所以所求得的最大正整数是47.

9、若四个数2839,4582,5164,6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？

解：设除数为d，余数为r，则由d4582?2836?1746，d5164?4582?582，

r?,d6522?5164?1358，知d(17,5684,123)5?189由4此得d?97d?194,r?120.

3510、将2?1?34359738367分解因数.（ 第三章 第四节 Euler定理 例7 ） 3557解：若p2?1，则p是2?1或2?1的素因数或者p?1(mod70).

或235其中有31和127，因为2?1?31?127?8727391，所以2?1分别是因数只能用

35p?1(mod70).来寻求

在数列71、211、281……中经检验8727391?71?122921 显然，122921的素因数也在31、127或数列71、211、281……中

简单计算122921不能被31、127整除，也不能被数列71、211、281……（122921?351）整除.

所以122921是素数，故2?1?31?127?71?122921

四、证明题：1、求证：平方数的正因数个数是奇数.

证明：因为每个自然数n的正因数个数是成对出现的，若d是n的因数，则数

当d?n时，则d?35n也是n的因dn. dn当d?n时，则d?即当n为平方数时，n是n的因数，与其配对的是n自身.

d于是，当且仅当n为平方数时，n的正因数个数是奇数. 2、求证：若(a,b)?1，则(a?b,a?b)?1或2.

证明：假设d是a?b的任意一个公约数，则有da?b且da?b. 于是d2a，d2b. 又

(a,b)?1 ?d2 从而，d?1或d?2.

4nnnn3、假设a为正整数，则51?2?3?4的充要条件为4n.

证明：因为?(5)?4，所以，由费马定理有k?1(mod5)故

(1?k?4). (r，?则r?，若

n?4q?