向量的极化恒等式与等和线的应用 学生版

极化恒等式

引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.证明：不妨设AB?a,AD?b,

则AC?a?b，DB?a?b，

AC?AC?a?b?a?2a?b?b （1） DB?DB22222????a?b?222?a?2a?b?b （2）

22222222????（1）（2）两式相加得：AC?DB?2?a?b??2?AB?AD?

????结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？

221? a?b＝a?b?a?b?————极化恒等式

???4?????对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式

的几何意义是什么？

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的

1. 4即：a?b?122AC?DB（平行四边形模式） 4??思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AC?2AM，所以a?b?AM2?12DB（三角形模式） 4例1.(2012年浙江文15)在?ABC中，M是BC的中点，AM?3,BC?10，则AB?AC?A

____ .

B C M

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目标检测

(2012北京文13改编)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE?DA的值为______.

例2（自编）已知正三角形.ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA?PB的取值范围是________.

目标检测

x2y2(2010福建文11)若点O和点F分别为椭圆??1的中心和左焦点，点P43为椭圆上的任意一点，则OP?FP的最大值为(　　)A.　2　　B.3　　　C.6　　D.8

例3.（2013浙江理7）在?ABC中,P0是边AB上一定点，满足P0B?上任一点P，恒有PB?PC?P0B?PC0。则( )

A. ?ABC?90 B. ?BAC?90 C. AB?AC D. AC?BC

例4. (2017全国2理科12)已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的最小是（ ） A.?2 B.?

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1且对于边ABAB，

434 C. ? D.?1 23课后检测

1.在?ABC中，?BAC?60若AB?2，BC?最小值为

2.已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则PA?PB?PC的最小值为____________

3．在?ABC中，AB?3，AC?4，?BAC?60，若P是?ABC所在平面内一点，且

3，D在线段AC上运动，DB?DA的

??AP?2，则PB?PC的最大值为

x224． 若点O和点F(?2,0)分别是双曲线2?y?1(a?0)的中心和左焦点，点P为双曲线

a右支上任意一点则OP?FP的取值范围是 .

5．在Rt?ABC，AC?BC?2，已知点P是?ABC内一点，则PC?(PA?PB)的最小 值是 .

6.已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且?AOB?120,MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足OC??OA?(1??)OB(0???1)，则CM?CN的取值范围是（ ）

A．??o?1??3?,1? B．??1,1? C．??,0? D．??1,0? ?2??4? 3 / 8

7. 正?ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，则AP?PB的取值范围是（ ） A. ??

8．在锐角?ABC中，已知B?

?33??31??13??11?,? B. ??,? C. ??,? D. ??,? ?22??22??22??22??3B?AC，AB?AC?2，则A的取值范围是 ．

(2008浙江理9)已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足9. (a?c)?(b?c)?0,则c的最大值是(　　)

A.1　　B.2　　C.2　　D.

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