（浙江专用）2019 - 2020学年高中数学课时跟踪检测（一）正弦定理新人教A版必修5

课时跟踪检测（一） 正弦定理

A级——学考水平达标

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( ) 5A. 33C. 7

3 B. 55 D. 7

sin Aa5

解析：选A 根据正弦定理得＝＝. sin Bb32．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．等腰三角形

解析：选B 由题意有＝b＝，则sin B＝1，

sin Asin B即角B为直角，故△ABC是直角三角形．

sin Acos C3．在△ABC中，若＝，则C的值为( )

abacA．30° C．60°

B．45° D．90°

sin Asin Ccos C解析：选B 由正弦定理得，＝＝，

acc则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.

ππ

4．△ABC中，A＝，B＝，b＝2，则a等于( )

64A．1 C.3

解析：选A 由正弦定理得

B．2 D．23

2

＝， ππsin sin

64

a∴a＝1，故选A.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝3bsin A，则sin B＝( ) A.3 6

3

B.

3 3

6 3

C.D．－

解析：选B 由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝3sin Bsin A，故

- 1 -

sin B＝

3. 3

6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解； ②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解； ③a＝15，b＝2，A＝90°，无解； ④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．

解析：①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．

答案：④

7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sinC，则△ABC的形状是________． 解析：由已知得sinA－sinB＝sinC，根据正弦定理知sin A＝＝， 2R所以??－??＝??，

?2R??2R??2R?

即a－b＝c，故b＋c＝a.所以△ABC是直角三角形． 答案：直角三角形

8．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则＝________.

cos A解析：由正弦定理及已知得答案：2

9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°， 则C＝180°－(A＋B)＝75°. 因为C>B>A，所以最小边为a. 又因为c＝1，由正弦定理得，

1ACAC＝，∴＝2. sin Asin 2Acos A2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ab，sin B＝，sin C2R2Rc?a?2?b?2?c?2

ACcsin A1×sin 45°

a＝＝＝3－1，

sin Csin 75°

所以最小边长为3－1.

10．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形． 解：∵

＝＝， sin Asin Bsin Cabc - 2 -

∴b＝

asin B22sin 45°

＝＝sin Asin 30°

22×1

2

22

＝4.

∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c＝

asin C22sin 105°22sin 75°

＝＝ sin Asin 30°1

2

＝42sin(30°＋45°)＝2＋23.

B级——高考能力达标

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么角C等于( )

A．120° C．90°

B．105° D．75°

解析：选A ∵c＝3a，∴sin C＝3sin A＝3sin(180°－30°－C)＝3sin(30°＋

C)＝3?

1?3?

sin C＋cos C?，即sin C＝－3cos C，∴tan C＝－3.又0°

2?2?

∴C＝120°.故选A.

2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(2＋1)，且sin B＋sin C＝2sin A，则a＝( )

A.2 C．4

B．2 D．22

解析：选C 根据正弦定理，sin B＋sin C＝2sin A可化为b＋c＝2a， ∵△ABC的周长为4(2＋1)，

?a＋b＋c＝4?2＋1?，

∴?

?b＋c＝2a，

解得a＝4.故选C.

a＋b＋c3．在△ABC中，A＝60°，a＝13，则等于( )

sin A＋sin B＋sin CA.C.83

3263

3

239 B. 3D．23

a＋b＋ca解析：选B 由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝sin A＋sin B＋sin Csin A - 3 -

＝

13239

＝.

sin 60°3

4．在△ABC中，若A

B．2∶3∶4 D．4∶5∶6

π

解析：选A 由A

3倍，所以c＝2a，所以sin C＝2sin A，即sin?

?2π－A?＝2sin A?tan A＝3，又0

?3?3?

ππ

所以A＝，从而C＝，则三个角A∶B∶C＝1∶2∶3，故选A.

62

5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________，b＝________. 解析：因为＝，所以＝，

sin Asin Bsin 60°sin 45°所以

32

b＝a，① 22

abab又因为a＋b＝12，②

由①②可知a＝12(3－6)，b＝12(6－2)． 答案：12(3－6) 12(6－2)

6．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝_______. 解析：由正弦定理，得＝，即

sin Csin Asin C＝＝

ABBCAB·sin A BC5sin 120°53

＝. 714

2

可知C为锐角，∴cos C＝1－sinC＝

11

. 14

∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C) 33

＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.

1433答案： 14

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且(1)求角C的大小；

asin A＝. 3cos Ccuuuruuur(2)如果CA·CB＝4，求△ABC的面积．

- 4 -

ac＝??sin Asin C，

解：(1)由?ac＝??sin A3cos C，

得sin C＝3cos C，

π

故tan C＝3，又C∈(0，π)，所以 C＝.

3

uuuruuuruuuruuur1

(2)由CA·CB＝|CA||CB|cos C＝ba＝4得ab＝8，

2

113

所以S△ABC＝absin C＝×8×＝23.

222

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋3bsin C－a－c＝0. (1)求B；

(2)若b＝3，求a＋c的取值范围．

解：(1)由正弦定理知：sin Bcos C＋3sin Bsin C－sin A－sin C＝0， ∵sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C代入上式得： 3sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0. ∵sin C>0，∴3sin B－cos B－1＝0，

?π?1

即sin ?B－?＝，

6?2?

π

∵B∈(0，π)，∴B＝.

3

(2)由(1)得：2R＝＝2，a＋c＝2R(sin A＋sin C)

sin Bb?π?＝23sin?C＋?.

6

?

?

?2π??π?∵C∈?0，?，∴23sin?C＋?∈(3，23]，

3?6???

∴a＋c的取值范围为(3，23]．

- 5 -