2019学年高中数学第7章解析几何初步7.2.4.2直线的点斜式方程学案湘教版必修3word版本

第2课时 直线的点斜式方程

[学习目标]

1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．

2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义． 3．会根据斜截式方程判断两直线的位置关系． [知识链接] 下列说法中，

①若两条不重合的直线平行，则它们的斜率相等； ②若两直线的斜率相等，则两直线平行； ③若两直线垂直，则其斜率之积为－1； ④若两直线的斜率之积为－1，则它们互相垂直． 正确的有________． 答案 ④ [预习导引]

1．直线的点斜式方程

名称 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 示意图 方程 使用范围 斜率存在的直线 y－y0＝ k(x－x0) 2.直线l在坐标轴上的截距

(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b． (2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a． 3．直线的斜截式方程 名称 斜截斜率k和在y轴上的截距b 式 已知条件 示意图 方程 使用范围 斜率存在的直线 y＝kx＋b

要点一 直线的点斜式方程

例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点．

解 (1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，

∴由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，

(2)∵与x轴平行的直线，其斜率k＝0，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)， 即y＋4＝0.

(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝又∵直线过点P(－2，3)， ∴直线的点斜式方程为

－4－3－7＝＝－1.

5－（－2）7y－3＝－(x＋2)．

规律方法 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝

k(x－x0)．

(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 跟踪演练1 (1)过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．

(2)已知直线l过点A(2，1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________． 答案 (1)x＋y－1＝0 (2)x＋4y－6＝0 解析 (1)k＝tan 135°＝－1， 由直线的点斜式方程得

y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.

(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4?x－?，

由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－

??3?4?11.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋4y－6＝0. 44要点二 直线的斜截式方程

例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

解 (1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－由斜截式可得方程为y＝－

3. 33x－2. 3(3)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝3.

∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.

规律方法 1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝3x－3”．

2．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零． 跟踪演练2 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.

解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y＝3x－3.

(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan 60°＝3，所求直线的方程为y＝3x＋5. (3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝要点三 直线过定点问题

3， 33x. 3例3 求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限． 证明 法一 直线l的方程可化为

y－3＝(m－1)(x＋2)，

∴直线l过定点(－2，3)，

由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限． 法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0. 令??x＋2＝0，???x＋y－1＝0，解得??x＝－2，???y＝3.

∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．

规律方法 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现了代数方法处理恒成立问题的基本思想． 跟踪演练3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．

????(1)证明 直线方程变形为y－＝a?x－?，它表示经过点A?，?，斜率为a的直线．

??13?∵点A?，?在第一象限，

?55?∴直线l必过第一象限．

3515?13?55?

3－05(2)解 如图所示，直线OA的斜率k＝＝3.

1－05∵直线不过第二象限， ∴直线的斜率a≥3. ∴a的取值范围为[3，＋∞).