自编苏教版6上长方体和正方体单元综合知识点全套讲解附练习和答案

长方体和正方体综合知识点自编版 September 12, 2014 前言

要素 立体图形 数量 棱 特征 数量 面 特征 数量 同一个顶上面4个 左右各2 相等，3组 4条竖高棱 垂直于正个面 面完全相同 有一组相对的2左右相对的2个下面4个 3条棱分 别叫做： 点引出的顶点 特征 12条 互相平行4条横长棱 6个面 相对的面完全相8个 上下前后,同。上下、前后、的棱长度长方体 4条纵宽棱 半特殊 ．．．长方体 12条 方形面的44垂直棱+ 条棱长度2面+4面 其余4个面是完构正方8棱 相等 全相同的长方形 8个 6个面 个面是正方形，上面4个 高。 下面4个 三棱汇一长、宽、正方体 12条 长度相等 6个面 6个面全相等 8个 点 唠叨说教

上述表格中涉及到的一些数字，相信你基本能脱口而出，可每到解题的时候，头脑一片混乱。每次考完试后，我常会听到一些同学说：这次考试我又粗心了。粗心是借口，过了4年级，粗心实际就是数学思维混乱，不讲数学道理，水平低的表现。并且屡教不改。

这里牵涉到两个问题：一是记忆问题；形同其它学科，数学所需要背诵的基本概念、法则、定义、定理、公式，大多为了加快解题步骤，省却学生重复推倒的过程（很多小学、初中阶段学生自己都还无法去推倒）。由于数学学科的自身特点表现在——探讨对象的抽象性，数学语言在纸面表达的抽象性很强。因此为记忆而记忆，机械的记忆，不仅枯燥无味，且造成错误频出，说到底无任何意义。纵观对于数学7大体系需要进行记忆的内容，其中6大版块—计算体系、计数体系、组合体系、数论体系、

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行程体系、应用体系，每次在记忆的时候，脑海中最好同步显现相应的一道哪怕是最简单的题目即可；而对于第七体系的几何体系而言，公式、概念背诵的同时，不仅头脑中必须出现对应的图形，反复映射，特别重要的是，对于立体几何而言：作图，标上带单位的数字，更是不可或缺，意义重大。

第二个问题：数学还是一门知识的连贯性、系统性、逻辑性很强的学科。决不可将数学不同阶段、时期的知识点孤立看待。数学知识的连贯性，犹如链条，缺少某一环节，知识就会散架。 例如说三年级上学期对于长方形、正方形周长的学习；三下对它们面积的学习；四下从三角形→平行四边形→梯形；五上，将上述图形简单合成，进入到多边形面积的学习；看下图所示：

将四边形分成三组：两组对边都不平行的是任意四边形，有一组对边平行，另外一组对边不平行的是梯形；两组对边分别平行的是平行四边形。 对于梯形分组来说，两腰相等是等腰梯

动笔前一副“空想社会主义”的萌样；动笔时一副凌空蹈虚的傻样，很傻很天真—其实你很2.

形，有一个角是直角叫直角梯形。对于平行长方体、正方体 空间构造认识

★长方体中，汇聚于一点的三条棱，分别是横长棱，纵深棱，竖高棱。平面几何中，以长度来界定长 和宽。立体几何中，长宽高的界定，没有一本教材给出。我觉得，按照呈现在眼前的三维立体平面图中，线条的横向，纵向，竖向走向来定义为好。这对于长方体表面积的计算：长方体上、下两面的面积和=长×宽×2；长方体前、后两面的面积和=长×高×2；长方体左、右面两的面积和=宽×高×2；最后易记忆并合成为，S长=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。初中起到将来，直线坐标系，直角坐标系，空间坐

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标系与之相对应的实数虚数、函数、解析几何、微积分学习都有关联。

★三维立体平面图是为了方便研究，其实既可只见一面—正、侧、俯视三取其一；两面—正、侧、俯视三取其二；三面—正视图、侧视图、俯视图三合一。特别说明：1，如果物体的宽度明显小于人双眼距离的时候，有可能4个面。但是你忽略了前提条件是从一点去观察；2，从不同角度观察长方体，最多能同时看见几面，请不要累加，前提条件是同时能看见。时间在流逝：是孔圣的“不舍昼夜”，是庄生的“白驹过隙”，是曹孟德的“譬如朝露”，是陈子昂的“怆然泣下”。还有那句拨动无数少年心弦，触落无数老者清泪的“你聪明的，告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢？” You the wise, tell me, why should our days leave us, never to return?——推荐聆听2014春晚歌曲《时间都去哪儿了》。

★长方体有“大众化”和“半特殊化”两种。实质为汇聚于顶点的长宽高三种棱，有且只可以两两之间数值大小一样时，“大众化长方体“成为“半特殊化”长方体。若长宽高大小都相等，就成为正方体。半特殊化长方体由于隐含着有一组相对的两个面是正方形（为什么不能相邻？），或者说隐含着长方体的6个面，必定分为2个对面为正方形，4个只可为长方形的条件，我们依然应当从这个条件形成的实质内涵是12条原本分组为4长、4宽、4高的棱，重新分组为4和8两组棱。充分利用◆【相对2正方，其余环形4个等长方形】，【4棱环形4长方、8棱相对两正方】◆ 是解决很多半特殊化长方体问题的关键。

提问： 1.长方体中的12条棱如何分组?

2.长方体最少有4个面是长方形? 3.半特殊化长方体对其所属的正方形的面有什么位置要求? 上下2相对 前后2相对 左右2相对 其余前后左右 其余上下左右 其余上下前后 4环形等长方 4环形等长方 4环形等长方

相 对 2 正 方，其 余 环 形 4 个 等 长 方 形 ．．．．．．．．．．．．．．．．

★长方体和正方体的差别，不是面的差别，依然是棱！因为面的大小，就是棱的长度乘积结果造成；

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有关你前世今生的故事是这样的：正方体是特殊的长方体，它拥有长方体所具有的特征：8个顶点，12条棱，6个面且相对的面一定平行，不平行那叫“喇叭开口笑”！探究实质，依然是12条棱其中的8条，长度首先变得完全一样后，形成且只能形成相对的两个正方形，这样前世大众化长方体的你，变形为半特殊化长方体（又名正四棱柱，妖也要有名）。当原本垂直于正方形的4条棱，长度增加（你前世矮胖子，现在矮胖挫的妖）或者减少（你前世瘦丑穷）到和8条棱完全一样时，汇于一点三棱的你本是人，且是矮胖挫或瘦丑穷，某一日，走火入魔，邪念丛生，祸害学生，变形是为妖人？人妖？（随便你啦）。最终幡然醒悟，潜心修炼，放下屠刀，又某一日，得道成仙！—本类型妖题，用你当年，破解不再是妖人或人妖的方法，依然是口念：相对2正方，其余环形4个等长方形，去解决。 【管中窥豹之你的前世今生变形记】

一个长方体木块,从上部和下部分别截去4厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？ 【解法1】根据题意可以知道：

①长方体是一个底面为正方形的长方体。【相对两正方】, 4cm ②把截去的4cm和2cm拼凑在一起，这样就减少了一个高度为 （4＋2）cm，面积是120cm2的侧面，这个侧面是由4个相等的长方形 （长就是长方体的长，宽就是6cm）组成的。【其余环形4个等长方形】 ③正方体的棱长：120÷（4＋2）÷4=5（cm）【红色线均为5cm】 ④原长方体的体积：5×5×（4+2+5）=275（立方厘米）

【解法2】①120平方厘米就是(4+2)厘米高的长方体的侧面积，

②长方体底面周长：120÷6=20厘米， 【侧面积÷底面周长=高】 2cm ③因为成为正方体，底面是正方形，所以底面边长为20÷4=5厘米， 那么原来长方体的高为(4+2+5=11厘米)， 所以原长方体体积：5×5×11=275立方厘米。

【解法3】列方程，设长方体的长是x厘米，那么宽也就是x厘米， 4cm

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