河北省保定市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

中点.

（1）证明：AM?D1D；

（2）若?ABC?30，且AC?BC，求二面角B1?CC1?D1的正弦值.

0 x2y23?1?20. 椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为，且过点??1,?. 2?ab2?（1）求椭圆C的方程；

（2）设P?x,y?为椭圆C上任一点，F为其右焦点，A、B是椭圆的左、右顶点，点P?满足PP???4?x,0?. ①证明：PP?PF为定值；

②设Q是直线x?4上的任一点，直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点，求MF?NF的最小值.

21. 已知函数f?x??lnx?ax?a?R?. x?1（1）讨论函数f?x?的单调性；

?x1?x2?f?x1??f?x2?（2）若f?x?有两个极值点x1,x2，证明: f?. ??22??（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.

?x?t?22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?，在以O12（t为参数，a?0）y?t?a?为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l:?cos???sin??b?0与C2:???4cos?相交于A、B两点，且?AOB?900. （1）求b的值；

（2）直线l与曲线C1相交于M、N，证明：C2MC2N（C2为圆心）为定值. 23. 已知函数f?x??x?1. （1）解关于x的不等式f?x??x?1?0；

2（2）若函数g?x??f?x?1??f?x?m?，当且仅当0?x?1时，g?x?取得最小值，求x???1,2?时，函数g?x?的值域.

试卷答案

一、选择题

1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB

二、填空题

13. -1 14. 甲 15. 9 16. 3

三、解答题

17.解：（1）由2an?an?1?an?1n?2,n?N?*?知

数列?an?为等差数列，且首项为1，公差为a2?a1?1，所以an?n； （2）∵2nbn?1??n?1?bn， ∴bn?bn?11bnb11??1是以为首项，为公比的等比数列， ?n?1?，∴数列???nn?12n12??n?1bn?1????n?2?Tn?，从而bn?n， 2n?1n?1n1123?T??2?3?，nn?2n?1222222?n?1n?n， n?122123?1?2?0222?∴111Tn?1??2?22211n2n?n?2?n?2， ?n?1?n?n12n2221?21?所以Tn?4?n?2. 2n?1112111?,?,,， 3?263?233618.解：打5，6，7，8折的概率分别为（1）事件A为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，

22?1?2?； 所以P?A??C3???3?39（2）X的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，

2111111P?X?2000????，P?X?2200????2?，663663911112P?X?2400????2???，

63339111110511112P?X?2600????2???2??，P?X?2800??????2? ，

3366361833369111111P?X?3000????2?，P?X?3200????，

6396636所以X的分布列为

X P 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 1 361 92 95 182 91 91 36E?X??2000?元.

1125211?2200??2400??2600??2800??3000??3200??2600369918993619.（1）证明：连接AC1，

∵A1B1C1D1?ABCD为四棱台，四边形A1B1C1D1四边形ABCD，

∴A1B11AC??11，由AC?2得，AC11?1， AB2AC又∵A1A?底面ABCD，∴四边形A1ACC1为直角梯形，可求得C1A?2，

又AC?2,M为CC1的中点，所以AM?C1C，

又∵平面A1ACC1?平面C1CDD1，平面A1ACC1?平面C1CDD1?C1C， ∴AM?平面C1CDD1,D1D?平面C1CDD1， ∴AM?D1D； （2）解：

0在?ABC中，AB?23,AC?2,?ABC?30，利用余弦定理可求得，BC?4或BC?2，222由于AC?BC，所以BC?4，从而AB?AC?BC，知AB?AC，

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，?33?A?0,0,0?,B23,0,0,C?0,2,0?,C10,1,3,M??0,2,2??，

???????33?由于AM?平面C1CDD1，所以平面C1CDD1的法向量为AM??0,,?22??，

??设平面B1BCC1的法向量为m??x,y,z?，BC??23,2,0，CC1?0,?1,3，

??????BCm?0???23x?2y?0?设y?3，所以m?1,3,1， ?????y?3z?0?CC1m?0???333?mAM2?25， cosm,AM??255?3mAM∴sinm,AM?5， 5