立体几何基础题题库5（有详细答案）

北京高考网—北达教育旗下www.beijinggaokao.com 电话 010-84476965 6aEO26∴ sin?ECO? ??3EC3a2108. 已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影．求证：H不可能是△SBC的垂心．

分析：本题因不易直接证明，故采用反证法．

证明：假设H是△SBC的垂心，连结BH，并延长交SC于D点，则BH⊥SC ∵ AH⊥平面SBC，

∴ BH是AB在平面SBC内的射影 ∴ SC⊥AB（三垂线定理）

又∵ SA⊥底面ABC，AC是SC在面内的射影 ∴ AB⊥AC（三垂线定理的逆定理）

∴ △ABC是Rt△与已知△ABC是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立． 故H不可能是△SBC的垂心．

109. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．

解析：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．

BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾． 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距

SDHABC离． ——4分 ∵ BD⊥AC，

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北京高考网—北达教育旗下www.beijinggaokao.com 电话 010-84476965 ∴ EF⊥HC． ∵ GC⊥平面ABCD， ∴ EF⊥GC， ∴ EF⊥平面HCG．

∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线． ——6分

作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ——8分 ∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2，

∴ AC=42，HO=2，HC=32．

∴ 在Rt△HCG中，HG=

?32?2?22?22．

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．

∴ OK=

HO?GC2?2211． ??HG1122即点B到平面EFG的距离为

211． ——10分 11注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分．

110. 已知：AB与CD为异面直线，AC＝BC，AD＝BD． 求证：AB⊥CD．

说明：（1）应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路．

（2）思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂直是关键． （3）教学方法，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法． 证明：如图，取AB中点E，连结CE、DE ∵AC＝BC，E为AB中点．

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北京高考网—北达教育旗下www.beijinggaokao.com 电话 010-84476965 ∴CE⊥AB

同理DE⊥AB，又CE∩DE＝E， 且CE?平面CDE，DE?平面CDE． ∴AB⊥平面CDE 又CD?平面CDE ∴AB⊥CD．

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