立体几何基础题题库5（有详细答案）

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∴BC = h ∵CD??, DE?AB ∴CE?AB 在Rt△ACB中

AB?AC2?BC2?2h

S?11AC?BC?AB·CE 22AC?BC?AB3h·h3?h 2h2

∴CE?∴在Rt△DCE中,

DE?DC2?CE2?h2?(327h)?h 22 ∴点D到直线AB的距离为

7h。 2103. 已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和α相交，并且和a、b、c三条直线成等角． 求证：l⊥α

证法一：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO = BO = CO．设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，

∵ PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC， ∴ △POA≌△POB≌△POC

∴ PA = PB = PC．取AB中点D．连结OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB， ∵ PD?OD?D ∴ AB⊥平面POD ∵ PO?平面POD． ∴ PO⊥AB．

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北京高考网—北达教育旗下www.beijinggaokao.com 电话 010-84476965 同理可证 PO⊥BC

∵ AB??，BC??，AB?BC?B ∴ PO⊥α，即l⊥α

若l不经过O时，可经过O作l?∥l．用上述方法证明l?⊥α， ∴ l⊥α．

证法二：采用反证法

假设l不和α垂直，则l和α斜交于O． 同证法一，得到PA = PB = PC．

过P作PO???于O?，则AO??BO??CO?，O是△ABC的外心．因为O也是△ABC的外心，这样，△ABC有两个外心，这是不可能的．

∴ 假设l不和α垂直是不成立的． ∴ l⊥α

若l不经过O点时，过O作l?∥l，用上述同样的方法可证l?⊥α， ∴ l⊥α

评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法． 104. P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影． （1）若PA = PB = PC，则O是△ABC的____________心．

（2）若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心． （3）若PA 、PB、PC两两垂直，则O是△ABC_________心．

（4）若△ABC是直角三角形，且PA = PB = PC则O是△ABC的____________心． （5）若△ABC是等腰三角形，且PA = PB = PC，则O是△ABC的____________心． （6）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心； 解析：（1）外心．∵ PA=PB=PC，∴ OA=OB=OC，∴ O是△ABC的外心．

（2）内心（或旁心）．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵ PO⊥平面ABC，∴ OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴ O是△ABC的内心．（如图答9-23）

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北京高考网—北达教育旗下www.beijinggaokao.com 电话 010-84476965 （3）垂心．

（4）外心．（5）外心

（6）外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴ △PAO≌△PBO≌△PCO，∴ OA=OB=OC，∴ O为△ABC的外心．

（此外心又在等腰三角形的底边高线上）．

105. 将矩形ABCD沿对角线BD折起来，使点C的新位置C?在面ABC上的射影E恰在AB上． 求证：AC??BC?

分析：欲证AC??BC?，只须证BC?与AC?所在平面AC?D垂直；而要证BC?⊥平面AC?D，只须证BC?⊥C?D且BC?⊥AD．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了． 证明：由题意，BC?⊥C?D，又斜线BC?在平面ABCD上的射影是BA， ∵ BA⊥AD，由三垂线定理，得C?B?AD，C?D?DA?D． ∴ BC?⊥平面C?AD，而C?A?平面C?AD ∴ BC?⊥AC?

106. 已知异面直线l1和l2，l1⊥l2，MN是l1和l2的公垂线，MN = 4，A∈l1，B∈l2，AM = BN = 2，O是MN中点．① 求l1与OB的成角．②求A点到OB距离．

分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了．

解析：（1）如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一标OB在底面上射影NB⊥CD，由三垂线定理，OB⊥CD，又

在图中． CD∥MA，

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北京高考网—北达教育旗下www.beijinggaokao.com 电话 010-84476965 ∴ OB⊥MA 即OB与l1成90° （2）连结BO并延长交上底面于E点． ME = BN∥，

∴ ME = 2，又 ON = 2

∴ OB?OE?22． 作AQ⊥BE，连结MQ．

对于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得MQ⊥EO．

在Rt△MEO中，MQ?ME?MO2?2??2． EO22评述：又在Rt△AMQ中，

AQ?AM2?MQ2?4?2?6，本题通过补形法

显易解；求点到直线的距离，仍然是利用直线与平面垂

个面四条线”的图形特征来解决的．

使较困难的问题变得明直的关键条件，抓住“一

107. 已知各棱长均为a的正四面体ABCD，E是AD边的中点，连结CE．求CE与底面BCD所成角的正弦值． 解析：作AH⊥底面BCD，垂足H是正△BCD中心， 连DH延长交BC于F，则平面AHD⊥平面BCD， 作EO⊥HD于O，连结EC， 则∠ECO是EC与底面BCD所成的角 则EO⊥底面BCD．

HD?2233DF??a?a 3323a26AH?AD?HD?a??a

33222EO?11663AH??a?a，CE?a 22362

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