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所受的电场力．
238．一物体以速度v?3t?2t（米/秒）作直线运动，计算它在前3秒内的平均速度．
39．计算正弦交流电i?Asin?t一个周期T（T?1TT2??）内，电流的平均值和有效值
（即电流的均方根I??0i(t)dt）
240．求下列函数在[?a,a]上的平均值 （1）f(x)?a?x （2）f(x)?x
22341．血液在动脉里流动时，距离动脉中心线r处的血液流动速度为v(r)?k(R2?r2)，其中R是动脉的半径，k是常数，求血液流动的平均速度．
42．一密度均匀的薄片，其边界由抛物线y2?ax与直线x?a(a?0)围成，求此薄片的重心坐标．
43．某厂每批生产某产品Q单位时，收益函数为R(Q)?10?0.02Q（单位：元/单位），当生产10单位时总成本为60元．问此时生产利润是多大？
自测题（A）
（一）选择题
1．曲线x?y与直线y?x所围成的平面图形的面积为（ ） A．
122 B．
13 C．
16 D．
23
?x?acost?3?2．椭圆 ? (?t?)与y轴所围成图形的面积为( )
y?bsint22?A．
?4ab B．
?2ab C．
3?4ab D．?ab
5
3．曲线y?cosx(?的体积为（ ）
A．
?2?2?x??2)与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所围成旋转体
B．? C．
?22 D．?2
4．曲线x?y2?1,x?2所围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为（ ） A．
6415? B．
3215? C．
215? D．
615?
5．一物体沿x=3t2作直线运动，所受阻力与速度的平方成正比（比例系数为k），物体从x=0移到x=1时克服阻力所作的功为
A． 4k B．2k C．6k D．8k
6．曲线y?f(x)具有一阶连续导数，则曲线上相应于x?[a,b]的一段弧长为（ ） A． C．
??bab1?f(x)dx B．
1?|f'(x)|dx D．
2?babf(x)?1dx
1?[f'(x)]dx
22a?a（二）填空题
1．由曲线y=cosx和直线 y?2??x 所围图形的面积为 ．
?2．对数螺线r?2e自??0到??2?的一段弧所围平面图形的面积为 ．
3．由曲线y?为 ．
3x,x?y?4围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积
4．曲线y?ln(1?x2)相应于区间[0，
12]上的一段弧的长度为 ．
5．曲线y?x3,x?2,y?0所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为 ．
6．函数y?x2?1在区间[-2，4]上的平均值为 ． （三）解答题
1． 求由曲线y?x,y?3x所围图形的面积．
2．求c的值（c>0），使两曲线y?x2与y?cx3所围图形的面积为3．如图6—27，设函数y?sinx,0?x??223
．求：
（1）t取何值时，图中阴影部分的面积S1与S2之和最大？ （2）t取何值时，图中阴影部分的面积S1与S2之和最小？
6
4．设平面图形式由y?x2,y?x及y?2x所围成，求：
（1） 此平面图形的面积．
（2） 此平面图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积．
5．设有一直径为8m的半球形水池，盛满水，若将池中的水抽干，问至少需做多少功？ 6．利用定积分证明，半径为r的球体的体积为V?
43?r
3自测题（B）
（一）选择题
1． 曲线y?x2与y2?x3所围成的图形的面积为（ ） A．
35 B．
25 C．
315 D．
115
2．曲线y?ex及该曲线的过原点的切线和x轴的负半轴所围成的平面图形的面积为（ ）
A． e B． e C．
212e D．
12e
23．曲线y?x(x?1)(x?2)与x轴所为图形的面积可表示为（ ） A．
?20x(x?1)(x?2)dx B．?x(x?1)(x?2)dx?021?21x(x?1)(x?2)dx
C． ??0x(x?1)(x?2)dx D．??10x(x?1)(x?2)dx??21x(x?1)(x?2)dx
4．由y?sinx(0?x??)和x轴围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为（ ）
22 A． ? B． 4? C．
13? D． 2?
225．摆线??x?a(t?sint)?y?a(1?sint)绕x轴旋转所得(0?t?2?)的一拱与x轴围成的平面图形，
旋转体的体积为（ ）
323233 A． 4?a B． 5?a C． 4?a D． 5?a
6．一个半圆形的水池半径为R，池内盛满了水，则把池内的水抽出全部抽出所做的功之比为（ ）
R2所做的功与把水
7
xx A．
12 B．
716 C．
23 D．
14
（二）填空题
1．由曲线y?x?1x,x?2,y?2围成的平面图形的面积为 ．
2．由y?x3,x?2,y?0所围成的图形，绕y轴旋转所得旋转体的体积为 ．
3．抛物线y??x2?4x?3与直线y?4x?3,y??2x?6围成的平面图形的面积为 ．
4． 曲线x2?(y?5)2?16绕x轴旋转所得旋转体的体积为 ． 5．曲线y????xcostdt的全长为 ． 1226．由直线x?为 ．
与抛物线y2?2x包围的图形绕直线y?1旋转所得旋转体的体积
（三）解答题
1．求由曲线y?cosx,y?sinx和直线x?0,x?2?所围图形的面积．
2．过抛物线y?x2上一点P(a,a2)做切线，问a为何值时所做的切线与抛物线
y??x?4x?1所围成的图形面积最小？计算该最小值．
23．试求抛物线y?x2在点（1，1）处的切线与抛物线自身及旋转所得旋转体的体积
4．求曲线r?1?sin?,r?1所围成的图形公共部分的面积． 5．在椭圆x?2轴所围成的图形绕轴
y24?1绕长轴旋转生成的椭球中，沿长轴方向打一圆孔，如果剩余部分
的体积是椭球体积的一半，则孔的直径是多少？
6．边长为a,b的矩形薄片，与液面成30角沉于液体内，长边平行于液面而位于深h处，设a?b，液体的比重为?，试求薄片每面所受的压力．
7．如图6-2-5所示，在曲线y?cx2(c?0)上对应x?1的点A(1，c)处作其法线，
21y?cx今将由该法线及曲线与y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周．证明c?时旋转
4?体体积最小．
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