定积分的应用

第六章 定积分的应用

练习题

1． 选择题

（1）由曲线y?x2,x?y2所围成的平面图形的面积为（ ） A．

13 B．

23 C．

12 D．

32

（2）由曲线y?2x2,y?x2与直线y?1所围成图形的面积为（ ） A．

2?32 B．

4?223 C．

23 D．

13

（3）心形线r?a(1?cos?)相应于??x?2?的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A．

3?2a B．

23?4a C．

23?8a D． 3?a

22（4）由曲线x?（ ）

y,x?4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为

A． 16? B． 32? C． 8? D． 4?

（5）曲线y?2x2,y?x2与直线y?1所围成的图形绕y轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）

A． ? B．

e?e2x?x34? C．

14? D．

12?

（6）曲线y?e?e2a?a相应于区间[0,a]上的一段弧线的长度为 （ ）

e?e2a?aA． B． C．

e?e2a?a?1 D．

e?e2a?a?1

2（7）一汽船按x?t做直线航行，水的阻力与速度平方成正比（比例系数为k），汽船

从静止开始向前航行2米，发动机克服阻力所做的功为（ ） A． k B． 2k C． 4k D．8k

（8）水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m，高为3m，水面超过门顶2m，则闸门上所受水的压力为（ ）

1

A． 245kN B． 245N C． 205．8N D． 205．8kN （9）一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，平面与地面的交角为?，则平面截该圆柱体所得立体的体积为（ ）

A．

23Rtan? B．

313Rtan? C．

343Rtan? D．

3?3Rtan?

3（10）一圆柱形水池，深为h，半径为a，则将其中盛满的水抽出一半与全部抽出所需做的功之比为（ ）

A．

13 B．

23 C．

12 D．

14

2．填空题

（1）曲线y?sinx,x?0,x??,y?0围成的平面图形的面积为 ． （2）由抛物线y?2x2与直线y?4?2x所围成图形的面积为 ． （3）椭圆??x?acost?1?y?bsint?12(a?0,b?0)所围成的图形的面积为 ．

（4 ）双纽线r?为 ．

3sin2?相应于??2????2上的一段弧所围成的图形面积

（5）由曲线y?x,y?为 ．

（6）由双曲线y?1x2x所围成的图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积

和直线x??e,x??1与x轴围成的平面图形绕y轴旋转生成的

旋转体的体积为 ．

（7）曲线y?x?13x相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 ．

3（8）一底为8cm，高为6cm的等腰三角形片，铅直地浸没在水中，顶在上、底在下．则该三角形片的侧面所受到的水的压力为 ．

3．下列各图中画斜线部分的面积：

2

4．求由下列各组曲线所围平面图形的面积：

（1）y?ex,y?e?x,x?2 （2）y?x3,y?1,y?2,x?0 （3）y?x2,x?y?2 （4）y?x3,y?(x?2)2,x?0 （5）y?0,y?1,y?lnx,x?0 （6） y?2x?x2,x?y?0 （7）y?x22,x?y?8 (较小的一块) （8）xy?1,x??1,x??e,y?0

225．求由曲线y?sinx与y?sin2xo?x??所围成的平面图形的面积． 6．求抛物线y2?4x及其在点（1，2）处的法线所围成的图形的面积． 7．已知曲线x?ky2(k?0)与直线y??x所围图形的面积为

948，试求k的值．

8．求a的值，使曲线y?a(1?x2)(a?0)与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小．

9．在第一象限内求曲线y??x2?1上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积

210．求 椭圆x?y23?1与

x23?y?1所围公共图形的面积

211．求笛卡尔叶形线x3?y3?3axy?0所围成的平面图形的面积为．

3??x?acost12．求星形线 ?与坐标轴在第一象限所围成图形的面积．

3??y?asint13．求由下列各平面图形的面积：

（1）r?2acos? （2）r?2sin?与r?1的公共部分 （3）r?3(1?cos?) （4）r?2sin?与r?cos2?的公共部分

2?14．求对数螺线r?ae及射线????,???所围图形的面积．

15．求曲线y?e?x与x轴之间位于第一象限的平面图形的面积．

16．证明：从抛物线y?x2?1上的一点P引抛物线y?x2的切线，该切线与y?x2所围成的面积与P点的位置无关．

17．一物体，其底面是半径为R的圆，用垂直于底圆某一直径的平面截该物体，所得截面都是正方形，求该物体的体积．

218．求抛物线y?x与直线y?2x所围图形分别绕x轴和y轴旋转所形成立体的体积．

19．曲线x2?(y?5)2?4围成的平面图形绕x轴旋转，求所得旋转体的体积．

3

20．求由双曲线体积．

xa22?yb22?1与直线y??b所围成平面图形绕y轴旋转生成的旋转体的

21．曲线y?2?2x2和y?1?x围成一平面图形．求

2（1） 该平面图形的面积．

（2） 将该平面分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积． 22．利用定积分证明，下底半径为R，高为h的正圆锥的体积为?R2h

3123．求以圆x2?y2?a2为边界线的平面图形绕直线x?b旋转所形成立体的体积（b?a?0）．

24．求曲线??x?a(cost?tsint)?y?a(sint?tcost)14y?2(0?t?2?)的弧长

25．求曲线x?12lny相应于1?y?e上的一段弧长．

26．求曲线y?ln(x2?1)相应于区间[2，3]得一段弧长． 27．求曲线y??x3?3?tdt的全长

228．求心形线r?a(1?cos?)的全长

29．利用定积分证明，半径为R的圆周的周长为2?R．

30．证明曲线y?sinx一个周期的弧长等于椭圆2x2?y2?2的周长

31．由虎克定律可知，弹簧的伸长与拉力成正比．已知弹簧伸长1cm时拉力为1N，求把弹簧拉长10cm，拉力所做的功．

32．一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m，深2m，长8m．要把满池水全部抽到距水池上方20m的水塔中，问需要做多少功？

33．设有一质量为M，长为L的匀质细棒，和一个位于细棒延长线上相距细棒近端为a的指点，质点的质量为m．求细棒对该质点的引力．（根据万有引力定律）

34．某下水道的横截面时直径为3m的圆，水平铺设，下水道内水深1．5m，求与下水道垂直的闸门所受的压力．

35．一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅值地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，顶离水面3厘米，试求它侧面所受的压力．

36．设有一半径为R，圆心角为α的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ．在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力．

37．若电量Q均匀地分布在长为L的细棒上，求棒的中垂线上离棒中心为a处的电荷q

4