(- )三年高考数学(理)真题分类解析：专题07-导数的应用

专题07导数的应用

考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度 1.导数与函数的 单调性 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 理解 选择题 ★★★ 解答题 了解函数在某点取得极值的必要条件和充2.导数与函数的极 分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式(最)值 函数一般不超过三次) 3.生活中的优化问会利用导数解决某些实际问题 题

掌握 解答题 ★★★ 掌握 选择题 ★☆☆ 分析解读

1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.

2.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.

3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17分,属于高档题.

命题探究练扩展

2018年高考全景展示 1．【2018年理数天津卷】已知函数（I）求函数（II）若曲线

在点

，

，其中a>1.

的单调区间；

处的切线与曲线

在点

处的切线平行，证明

；

（III）证明当

时，存在直线l，使l是曲线

，单调递增区间为

的切线，也是曲线

的切线.

【答案】(Ⅰ)单调递减区间；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.

（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：则原问题等价于当关于x1的方程

时，存在

，

.l2：

，使得l1和l2重合.转化为当

存在实数解，构造函数，令

.

时，

，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得

据此可证得存在实数t，使得详解：（I）由已知，令

，解得x=0.

， 的变化情况如下表：

0 + ，则题中的结论成立. ，有

.

，

由a>1，可知当x变化时，x 所以函数

0 极小值 的单调递减区间，单调递增区间为.

（III）曲线

在点

处的切线l1：

.

曲线在点

处的切线l2：

.

要证明当只需证明当

时，存在直线l，使l是曲线时，存在

，

的切线，也是曲线

，使得l1和l2重合.

的切线，

即只需证明当时，方程组有解，

由①得

因此，只需证明当设函数

，代入②，得

时，关于x1的方程③存在实数解.

，即要证明当

，可知

时，

；

. ③

时，函数存在零点.

时，单调递减，又

，即

，

.

上单调递减. ，故

，

，

故存在唯一的x0，且x0>0，使得由此可得

在

在

上单调递增，在

.因为

处取得极大值