频谱分析（完整版）

Hs=spectrum.periodogram; psd(Hs,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024) Power Spectral Density Estimate via Periodogram0-10Power/frequency (dB/Hz)-20-30-40-50-60-7000.050.10.150.20.250.3Frequency (kHz)0.350.40.450.5 上述对分辨率的讨论都是在高信噪比的情况进行的，因此没有考虑噪声。当信噪比低的时候，谱特征的分辨更难，而且周期图上会出现一些噪声的伪像，如下所示

randn('state',0) fs = 1000; % Sampling frequency t = (0:fs/10)./fs; % One-tenth of a second worth of samples A = [1 2]; % Sinusoid amplitudes f = [150;140]; % Sinusoid frequencies xn = A*sin(2*pi*f*t) + 2*randn(size(t)); Hs=spectrum.periodogram; psd(Hs,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024) Power Spectral Density Estimate via Periodogram-5-10-15Power/frequency (dB/Hz)-20-25-30-35-40-45-50-5500.050.10.150.20.250.3Frequency (kHz)0.350.40.450.5 估计偏差 周期图是对PSD的有偏估计。期望值可以是

2f/2?Xf2?L????1sE??P?Wf??d? ?????xxR?fsL?fsL?fs/2???该式和频谱泄漏中的XL?f?式相似，除了这里的表达式用的是平均功率而不是幅度。这暗示了周期图产生的估计对应于一个有泄漏的PSD而非真正的PSD。

注意WR?f???本质上是一个三角Bartlett窗（事实是两个矩形脉冲的卷积是三角脉冲。）这导致了最大旁瓣峰值比主瓣峰值低27dB，大致是非平方矩形窗的2倍。 周期图估计是渐进无偏的。这从早期的一个观察结果可以明显看出，随着记录数据趋于

无穷大，矩形窗对频谱对Dirac函数的近似也就越来越好。然而在某些情况下，周期图法估计很差劲即使数据够长，这是因为周期图法的方差，如下所述。 周期图法的方差

22???Xf??sin?2?Lf/fs???L???2? var????Pxx?f??1????fsL???Lsin?2?f/fs????????2L趋于无穷大，方差也不趋于0。用统计学术语讲，该估计不是无偏估计。然而周期图

在信噪比大的时候仍然是有用的谱估计器，特别是数据够长。

Modified Periodogram修正周期图法

在fft前先加窗，平滑数据的边缘。可以降低旁瓣的高度。

旁瓣是使用矩形窗产生的陡峭的剪切引入的寄生频率，对于非矩形窗，结束点衰减的平滑，所以引入较小的寄生频率。

但是，非矩形窗增宽了主瓣，因此降低了频谱分辨率。

函数periodogram允许指定对数据加的窗，例如默认的矩形窗和Hamming窗 randn('state',0) fs = 1000; % Sampling frequency t = (0:fs/10)./fs; % One-tenth of a second worth of samples A = [1 2]; % Sinusoid amplitudes f = [150;140]; % Sinusoid frequencies xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t)); Hrect = spectrum.periodogram; psd(Hrect,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024); Power Spectral Density Estimate via Periodogram0-10-20Power/frequency (dB/Hz)-30-40-50-60-70-8000.050.10.150.20.250.3Frequency (kHz)0.350.40.450.5Hhamm = spectrum.periodogram('Hamming'); psd(Hhamm,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024); Power Spectral Density Estimate via Periodogram0-10-20Power/frequency (dB/Hz)-30-40-50-60-70-8000.050.10.150.20.250.3Frequency (kHz)0.350.40.450.5 事实上加Hamming窗后信号的主瓣大约是矩形窗主瓣的2倍。对固定长度信号，Hamming窗能达到的谱估计分辨率大约是矩形窗分辨率的一半。这种冲突可以在某种程度上被变化窗所解决，例如Kaiser窗。

非矩形窗会影响信号的功率，因为一些采样被削弱了。为了解决这个问题

函数periodogram将窗归一化，有平均单位功率。这样的窗不影响信号的平均功率。 修正周期图法估计的PSD是

??f??PxxXL?f?fsLU2 其中U是窗归一化常数

21L?1U??w?n? Ln?0假如U保证估计是渐进无偏的。

Welch法

包括：将数据序列划分为不同的段（可以有重叠），对每段进行改进周期图法估计，再平均。