2019年黑龙江省大庆市中考数学试卷及答案解析

【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠MAB＝∠NCD． 在△ABM和△CDN中，

，

∴△ABM≌△CDN（SAS）；

（2）解：如图，连接EF，交AC于点O． 在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴EO＝FO，AO＝CO， ∴O为EF、AC中点．

∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝， ∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4， ∴AG的长为1或4．

26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）． （1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

第17页（共21页）

（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？

【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x． 又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x． ∵DE∥BC， ∴∴

，

，

（0＜x＜4）．

＝

（0＜x＜4）．

∴y关于x的函数关系式为y＝（2）解：S△BDE＝当

＝

时，S△BDE最大，最大值为6cm2．

27．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．

（1）求证：PA是⊙O的切线； （2）证明：EF2＝4OD?OP；

（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．

第18页（共21页）

【解答】（1）证明∵D是弦AC中点， ∴OD⊥AC，

∴PD是AC的中垂线， ∴PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°． 又∵∠PCA＝∠ABC， ∴∠PCA+∠CAB＝90°，

∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA， ∴PA是⊙O的切线；

（2）证明：由（1）知∠ODA＝∠OAP＝90°， ∴Rt△AOD∽Rt△POA， ∴

，

∴OA2＝OP?OD． 又OA＝EF，

∴EF2＝OP?OD，即EF2＝4OP?OD．

（3）解：在Rt△ADF中，设AD＝a，则DF＝3a． OD＝BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4．

∵OD2+AD2＝AO2，即42+a2＝（3a﹣4）2，解得a＝∴DE＝OE﹣OD＝3a﹣8＝

．

，

28．（9分）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；

第19页（共21页）

（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．

【解答】解：（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴

，解

得：，

∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣4x﹣5； （2）y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，

则x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，（﹣1＜x＜5），其顶点为（2，9）．

∵新图象与直线y＝t恒有四个交点，∴0＜t＜9， 设E（x1，y1），F（x2，y2）． 由

解得：x＝2

，

∵以EF为直径的圆过点Q（2，1）， ∴EF＝2|t﹣1|＝x2﹣x1， 即2

＝2|t﹣1|，解得t＝

，

又∵0＜t＜9， ∴t的值为

；

第20页（共21页）