(完整word)相似三角形六大证明技巧（提高类技巧训练）

第2讲 模块一 相似三角形6大证明技巧

相似三角形证明方法之反A型与反X型

回顾相似三角形的判定方法总结：

1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）

3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A型：

BE，如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，若连CD、进而能证明△ACD∽△ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程

模型二：反X型：

如图，已知角∠BAO=∠CDO，若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC. 试一试写出具体证明过程

CEADB

应用练习：

1. 已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）AE?AB?AF?AC（2）∠BEO=∠CFO，

∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB

BEOFCADBAOC 13

2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC=90°,AB=3,BC=4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P.

(1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。

模块一 相似三角形证明方法之射影定理与类射影

模型三：射影定理

如图已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：AC2?AH?AB，BC2?BH?BA，，HC2?HA?HB，试一试写出具体证明过程

CAHB模型四：类射影

如图，已知AB2?AC?AD，求证：

BDAB?，试一试写出具体证明过程 BCACADCB 14

应用练习：

1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：

2.如图，在△ABC中，AD?BC于D，DE?AB于E，DF?AC于F，连EF，求证：∠AEF=∠C

AEFBDC 15

模块一 相似三角形证明方法之一线三等角

模型五：一线三等角

如图，已知∠B=∠C=∠EDF，则△BDE∽△CFD（AA），试一试写出具体证明过程

AFEAEAFE

CBD图1CBD图2CBD图3

应用练习：

1.如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与射线CA 相交于点Q．

（1） 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2） （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；

并求当BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）

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