高中新课程数学教学设计获奖作品汇编（下部） - 图文

②在锐角三角形中，如图5设BC?a，CA?b，AB?c 作：AD?BC，垂足为D

在Rt?ABD中，sinB?ADAB?AD?AB?sinB?c?sinBADAC

A

在Rt?ADC中，sinC??csinB?bsinC?csinC?bsinB?AD?AC?sinC?b?sinC

asinA?csinC同理，在?ABC中，

?asinA?bsinB?c B

D

C

（图5）

sinC

③在钝角三角形中，如图6设?C为钝角，BC?a，CA?b，AB?c

作AD?BC交BC的延长线于D

在Rt?ADB中，sinB?ADAB?AD?AB?sinB?c?sinB

ADACA

在Rt?ADC中，sin?ACD??c?sinB?b?sin?ACB?csin?ACB?bsinB

B

?AD?AC?sin?ACD?b?sin?ACB

C

D

asinA?csinC同锐角三角形证明可知

?asinA?bsinB?c

（图6）

sin?ACB

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

asinA?bsinB?csinC

还有其它证明方法吗？

学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：S?ABC?12AC?BD?12CB?AE?12BDABBA?CF，

AEAC?BAC?而由图中可以看出：sinsin?ABC?CFBC，sin?ACB?，

?BD?AB?sin?BAC,AE?AC?sin?ACB,CF?BC?sin?ABC

?S?ABC?12AC?BD?1212CB?AE?12BA?CF

12BA?BC?sin?ABC=

121AC?AB?sin?BAC?12CB?CA?sin?ACB?12

=b?c?sin?BAC?2a?b?sin?ACB?c?a?sin?ABC

?cs?ain11b?c?sin?BAC?a?bs?in?ACB?2221sin?BACsin?ABCsin?ACB， abc后可得??2abc等式

1中以?均A除BC即

asin?BAC?bsin?ABC?csin?ACB。

教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

B F c b A

(图7)

（图7）

E

a C

D

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高AE?c?sin?ABC?a?sin?ABC，三角形的面积：S?ABC?学生：S?ABC?1212?a?AE，能否得到新面积公式

12a?b?sin?ACB?12casinB?asinA1212c?a?sin?ABCb?c?sin?BAC?12

得到三角形面积公式S?ABC?

absinC?bcsinA 、

csinC教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、

bsinB都等于同一

个比值k，那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？

学生：在前面的检验中，Rt?ABC中，

c?，c恰为外接接圆的直径，即

siAnCsinc?k?2R，所以作?ABC的外接圆O，O为圆心，连接

??sBinabcB' C 并延长交圆O于B'，把一般三角形转化为直角三角

形。

证明：连续BO并延长交圆于B'

??B'AB?90?，?B'??C

BOO A B （图8）

在Rt?B'AB中，

?ABsinB'csinC?ABsinCABsinB'?B?B

?B'B?2R

即

?2R

a?2R同理可证：

sinAsinBabc????2R sinAsinBsinC，

b?2R

教师：从刚才的证明过程中,

asinA?bsinB?csinC?2R，显示正弦定理的比

值等于三角形外接圆的直径2R，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，

????在向量中，我也学过a?b?a?b?cos?，这与边的长度和三角函数值有较为密

切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？ 学生：思考（联系作高的思想）得出：

?????????????在锐角三角形?ABC中，AB?BC?AC，作单位向量j垂直于AC，

???????????????AC?j?AB?j?BC?j

?j B 即0?c?cos(90??A)?a?cos(90??C)

?c?sinA?a?sinC?0 ?csinC?asinAbsinBbsinB

??asinAcsinC?j ?j

同理：??asinA?

A

C

（图9）

对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。

教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。

设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。 （四）利用定理，解决引例

师生活动：

教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。 学生：马上得出

在?ABC中，?B?180???A??C?60?,?c?b?sinCsinB?600?sin45?sin60??2006mcsinC?bsinB

（五）了解解三角形概念

设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性

教师：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。 设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。 （六）运用定理，解决例题

师生活动：

教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。 学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：

①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如a

?bsinAsinB；

②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如

asinBbsinA?。

师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。

例1：在?ABC中，已知A?30?，B?45?，a?6cm，解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为180?求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

例2：在?ABC中，已知a?22，b?23，A?45?，解三角形。

例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流

学生：反馈练习（教科书第5页的练习）

用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。 （七）尝试小结：

教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。 学生：思考交流，归纳总结。

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

（1）正弦定理的内容（

asinA?bsinB?csinC?2R）及其证明思想方法。

（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。 （3）分类讨论的数学思想。

设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。 （八）作业设计

作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。

思考题：例2：在?ABC中，已知a?22，b?23，A?45?，解三角形。例2